Miré a https://math.stackexchange.com/a/537632/582205 para entender por qué la traza puede ser tanto la suma de los elementos diagonales de una matriz como la suma de los valores propios.
En la respuesta específica que da Rob Arthan - un polinomio de la forma $$f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... $$ con raíces $r_1, r_2, ...,r_n$ tiene coeficientes de la forma $$a_{n-1} = -(r_1 + r_2 + ... + r_n)$$
¿Quería decir que la función $f(x)$ sólo tiene un coeficiente que no es igual a 1, lo que significa que $a_i = 1$ para todos $i \neq n-1$ ?
Si no es así, ¿qué sentido tiene esto/ cómo puedo demostrarlo? Siento que esto sería increíblemente poderoso ya que sólo puede taylor expandir una función y luego encontrar sus raíces.
Tengo un comienzo (bastante patético):
Evaluaremos en una de las raíces (digamos $r_1$ ), por lo que $f(x = r_1) = 0$
$$f(x = r_1) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 = 0$$ $$a_{n - 1}r_1^{n-1} = -{\sum_{i = 0\\i \neq n-1}^{n}a_ir^i}$$ $$a_{n - 1} = -\frac{1}{r_1^{n_1}}{\sum_{i = 0\\i \neq n-1}^{n}a_ir^i}$$
¿Qué hago ahora? ¿Hay alguna forma mejor de demostrarlo?
(Esto se sale un poco del tema, pero ¿por qué la traza es igual tanto a la suma de las diagonales de cualquier matriz como a la suma de los valores propios? Me enseñaron que la traza era igual a la suma de las diagonales de una matriz triangular inferior/superior (de modo que las entradas diagonales son valores propios).
