Creo que la respuesta de Asaf, aunque correcta, pierde parte de razón. Por el contexto, está bastante claro que el PO quiere saber si escribir $i=\sqrt{-1}$ tiene sentido en los números complejos. Esto es esencialmente una cuestión de convención. Se puede definir de esa manera, pero cualquier forma de definir la función $\sqrt{z}$ no tendrá todas las propiedades que tiene para los números reales.
Raíz cuadrada de un número $a$ es cualquier número $x$ avec $x^2=a$ o, lo que es lo mismo, una raíz del polinomio $x^2-a$ . El teorema fundamental del álgebra implica que todo número complejo $a$ tiene raíz cuadrada. De hecho, para $a \ne 0$ , $a$ tiene precisamente dos raíces cuadradas, que son inversas aditivas.
Ya puedes ver que esto es un pequeño problema en los números reales no negativos. Para este caso, elegimos $\sqrt{a}$ para ser la única raíz cuadrada no negativa, que tiene un montón de buenas propiedades. Visto como una función de $a$ , $\sqrt{a}$ es continua, y es un homomorfismo multiplicativo (es decir. $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ ). Estas propiedades son lo suficientemente buenas como para que tenga sentido llamar a esta elección de $\sqrt{a}$ el raíz cuadrada de $a$ en lugar de a raíz cuadrada de $a$ . Por supuesto, esto ya es abusar un poco de la terminología, pero no te preocupes demasiado por eso.
Es perfectamente razonable intentar extender la función raíz cuadrada $\sqrt{a}$ para $a$ cualquier número complejo, ya que sabemos que los números complejos tienen raíz cuadrada. Pero a diferencia de los reales positivos, no hay una manera realmente agradable de elegir lo que el raíz cuadrada de $a$ debería ser. En particular, para $\sqrt{-1}$ podemos elegir $-i$ o $i$ y puesto que la conjugación compleja preserva todas las propiedades algebraicas de $\mathbb{C}$ no deberíamos esperar una forma agradable de hacerlo basada puramente en consideraciones algebraicas (como teníamos para los reales no negativos).
Ignoremos esto por un momento. Cualquier número complejo $z$ puede escribirse de la forma $z=r e^{i \theta}$ donde $0 \le r < \infty$ y $0 \le \theta < 2 \pi$ la representación polar de los números complejos. Para $z \ne 0$ la elección de $r$ y $\theta$ es única. Podemos definir $\sqrt{z}= \sqrt{r} e^{i \theta /2}$ que es la raíz cuadrada de $z$ . De hecho, si hacemos esto, entonces $\sqrt{-1} = i$ . ¿Cuál es el problema?
Por un lado, se pierde la propiedad de homomorfismo. Hay casos en los que $\sqrt{ab} \ne \sqrt{a}\sqrt{b}$ . Esto es genérico para todas las extensiones, de la función raíz cuadrada, también. No podemos evitarlo eligiendo una definición diferente. Se puede mirar esta pregunta para ver por qué esto debe fallar genéricamente.
Además, nuestra elección no es continua, ya que $\lim\limits_{y \to 0^+} \sqrt{x-iy} = -\sqrt{x}$ para $x,y$ real. Podríamos hacerlo continuo, pero a costa de no definir $\sqrt{z}$ para $\theta =0$ . Esto es lo que se llama corte de rama . Pero éste es precisamente el caso cuando $z$ ¡es un número real positivo! Algunas personas hacen esto, pero es una mala práctica y probablemente confusa. Podríamos definir un corte de rama en otro lugar, por ejemplo, permitir sólo $-\pi < \theta < \pi$ y utilizar la misma fórmula. Ahora el corte de rama está en el eje real negativo, lo que es mejor ya que nuestra notación no entra en conflicto con la notación para números reales, pero ahora $\sqrt{-1}$ es indefinido, y $\lim\limits_{y \to 0^+} \sqrt{-1+iy} = i$ mientras que $\lim\limits_{y \to 0^-} \sqrt{-1+iy} = -i$ . Si no te importa la continuidad en el eje real negativo, puedes ampliar la definición a $\theta = \pi$ , que de nuevo te devuelve $\sqrt{-1}=i$ . También podríamos inducir un corte de rama en otros lugares, por ejemplo en el eje imaginario positivo, para evitar tanto el problema de estar en desacuerdo con la raíz cuadrada real como de ser indefinido o discontinuo en alguna parte del eje real, pero entonces tu corte de rama tiene que cambiar bajo conjugación compleja, lo que también puede ser un problema.
Hay otras formas de abordar la cuestión. La más agradable es la teoría de Superficies de Riemann . La idea es que pienses en $\sqrt{z}$ como función sobre un conjunto mayor que el plano complejo. La superficie de Riemann para la raíz cuadrada es esencialmente 2 copias del plano complejo, divididas en los cortes de rama y pegadas entre sí. He aquí una imagen, tomada de Wikipedia para la superficie de Riemann de la función raíz cuadrada: ![Riemann surface for the square root]()
Este enfoque tampoco está exento de fallos, puesto que ahora ya no estás hablando estrictamente de la raíz cuadrada de un número complejo. Los puntos de la superficie de Riemann indican qué raíz cuadrada hay que elegir, y hay un punto para cada raíz cuadrada. Puesto que -1 es un número complejo, no un punto de la superficie, $\sqrt{-1}$ no tiene sentido. Sin embargo, hay 2 puntos correspondientes a -1, uno de los cuales tiene raíz cuadrada $i$ y el otro $-i$ .
También puede considerar $\sqrt{z}$ sea una función multivaluada que devuelva un par de números que sean raíces cuadradas de $z$ . Esto funciona bien, excepto cuando se quiere hacer algún tipo de cálculo real. En particular, en este enfoque, $\sqrt{-1} = \{i, -i\}$ . Este enfoque tiene la propiedad de homomorfismo que $\sqrt{ab} = \sqrt{a}*\sqrt{b}$ una vez definido lo que significa multiplicar conjuntos (a saber, $\{a,-a\} * \{b,-b\} = \{ab,-ab\}$ ). Esta definición no concuerda con nuestra definición para los reales positivos, pero no es tan mala como antes, ya que la raíz cuadrada de un número real es al menos un elemento del conjunto de sus raíces cuadradas como número complejo.
EDITAR (para aclarar una cuestión en los comentarios)
Diré, sin embargo, que decir que $i = \sqrt{-1}$ es la definición de $i$ es inaceptable en mi opinión. No se puede definir $i$ así porque no tiene sentido. Por desgracia, así es exactamente como lo "define" MathWorld, pero creo que es circular y no tiene sentido.
$\sqrt{\phantom{-1}}$ es una función definida sobre los números reales no negativos. $\sqrt{-1}$ no existe en este contexto. La razón de construir los números complejos es arreglar esto, para poder resolver ecuaciones como $x^2 = -1$ . Antes de que pueda decir " $i$ es una raíz cuadrada de $-1$ "tienes que asegurarte de que hay algún contexto en el que -1 tiene raíz cuadrada. Por supuesto, todos sabemos que los números complejos son un sistema coherente con esta propiedad, pero durante cientos de años la gente no estaba segura de ello.
Pero incluso una vez construido $\mathbb{C}$ Yo diría que definir $i = \sqrt{-1}$ es una mala práctica. Claro, desde un punto de vista algebraico, las dos raíces cuadradas de $-1$ son indistinguibles. Así que no hay nada malo en definir $i$ sea una raíz cuadrada de $-1$ .
La cuestión aquí es que $\sqrt{\phantom{-1}}$ no es un operador universal que toma raíces cuadradas en cualquier contexto. Es una función sobre $\mathbb{R}_{\ge 0}$ que podemos o no querer ampliar a $\mathbb{C}$ . Escribir $\sqrt{-1}$ sin definir $\sqrt{\phantom{-1}}$ en $\mathbb{C}$ es seguro que dará lugar a confusión. De hecho, quien escribió el artículo de MathWorld no quiere definir $\sqrt{z}$ para ser cualquier raíz cuadrada de $z$ para cada complejo $z$ . Al menos quieren continuidad en un subconjunto relativamente grande de $\mathbb{C}$ y otras propiedades relativamente bonitas. El hecho de que haya tantas formas de definir $\sqrt{z}$ para complejos $z$ es razón suficiente para ser explícito sobre lo que se quiere decir cuando se escriben cosas como $\sqrt{-1}$ .
No está claro qué $\sqrt{z}$ significa hasta que lo haya definido. El orden correcto para hacerlo es el siguiente: Primero, construyes los números complejos. Segundo, eliges una raíz cuadrada de -1 y la llamas $i$ (la otra raíz es obviamente $-i$ ). Por último, después de saber qué $\mathbb{C}$ y $i$ es decir, ahora puedes definir lo que $\sqrt{z}$ medios para complejos $z$ (si es que quieres). En este punto, puede o no ser cierto que $\sqrt{-1}=i$ , pero si lo es esta es la definición de $\sqrt{-1}$ no de $i$ . También hay que decir que no está claro que se puedan sacar raíces cuadradas de números complejos arbitrarios; es un hecho que hay que demostrar.
Me doy cuenta de que esto parece pedante, y una vez que estás familiarizado con las extensiones de campo y conoces la existencia de cierres algebraicos para campos arbitrarios puedes abusar del lenguaje y definir cosas como $i=\sqrt{-1}$ ya que sabes que hay una forma coherente de hacerlo (sobre todo si no te preocupa la continuidad y esas cosas). Pero a nivel de alguien que ve números complejos por primera vez, es demasiado probable que cause confusión. Por supuesto, la gente hizo este tipo de cosas sin construir explícitamente los números complejos durante mucho tiempo, pero nadie estaba realmente seguro de que los números complejos fueran matemáticamente consistentes. Ahora que sabemos que lo son, deberían presentarse como tales.
FIN EDICIÓN
tl;dr: Hay muchas formas de generalizar la función raíz cuadrada a los números complejos, algunas de las cuales tienen $\sqrt{-1} = i$ . Sin embargo, todas ellas carecen de algunas propiedades de la función raíz cuadrada real. Cada persona tiene sus preferencias. Algunos prefieren reservar el símbolo $\sqrt{\phantom{-1}}$ para los reales positivos, y sólo hablar de a raíz cuadrada de un número complejo. Para ellos, las propiedades de la raíz cuadrada real distintas de ser una solución de $z^2=a$ son demasiado importantes para utilizar el mismo símbolo. A algunas personas les importa menos la continuidad, estar definidas en todas partes, etc., y escribirán libremente $\sqrt{-1} = i$ . Es una cuestión de preferencia personal. Puede utilizar la convención que desee, pero debe asegurarse de ser coherente y no escribir cosas como $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ cuando no aguantan, o no escriben $\sqrt{z}$ donde no está definido. Qué definitivamente siempre sostiene, independientemente de la convención, es que $i^2 = -1$ .
