Actualmente escribo un artículo (en alemán) donde recojo algunos consejos para los estudiantes para demostrar la convergencia o divergencia de series. Qué consejos y trucos conoces, utilizas o enseñas?
Observación: Añadiré algunos consejos como respuestas de la comunidad-wiki. Así que siéntete libre de mejorarlos.
Para empezar, hay que comprobar prueba trimestral . Al investigar una serie $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k$ y $(a_k)_{k\in\mathbb N}$ no converge a cero, entonces $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k$ diverge.
Si la serie es de la forma $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k^k$ El prueba de raíz podría ser útil. Establece que en caso de $\displaystyle\lim_{k\to\infty} |a_k| < 1$ la serie converge y en el caso $\displaystyle\lim_{k\to\infty} |a_k| > 1$ la serie diverge.
Ejemplo: Tome la serie $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{4k+5}{2k+3}\right)^k$ . Para la prueba de la raíz calculamos
$$\begin{align} \limsup_{k\to\infty} \sqrt[k]{\left(\frac{4k+5}{2k+3}\right)^k} &= \limsup_{k\to\infty} \frac{4k+5}{2k+3} \\[0.5em] &= \limsup_{k\to\infty} \frac{4+\frac 5k}{2+\frac 3k} \\[0.5em] &= \frac 42 = 2 \end{align}$$
Desde $2 > 1$ la serie diverge como se indica en la prueba de la raíz.
He aquí una prueba que es relativamente desconocida. En cualquier caso se me ocurre donde sería práctico para aplicar, prefiero una comparación directa o comparación límite, pero sin duda sigue siendo interesante y útil.
Considere la serie $\sum_{n=0}^\infty a_n$ . Supongamos que tenemos una secuencia $\{b_n\}_{n=0}^\infty$ tal que $\sum_{n=0}^\infty 1/b_n$ diverge. Entonces
$$S = \liminf_{n \to \infty} \left(b_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right) \ \ \text{ and } \ \ T = \limsup_{n \to \infty} \left(b_n \frac{a_n}{a_{n+1}}-b_{n+1}\right)$$
Si $S>0$ entonces $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge; si $T<0$ entonces $\sum_{n=0}^\infty a_n$ diverge.
Esto se conoce como la prueba de Kummer. Es una generalización de la prueba de la proporción (y de otras pruebas) que puede hacerse arbitrariamente fuerte: Sea
$$c_{0,n}=1, \ \ c_{1,n} = n, \ \ c_{2,n} = n\log{n}, \ \ c_{3,n} = n\log{n}\log\log{n}, \ \ \text{ etc.}$$
Entonces es fácil demostrar (por ejemplo, con la prueba integral) que $\sum_{n=0}^\infty 1/c_{k,n}$ diverge para cada $k \in \mathbb{Z}_+$ y también que $\sum_{n=0}^\infty 1/c_{k+1,n}$ diverge más lentamente que $\sum_{n=0}^\infty 1/c_{k,n}$ para cada $k \in \mathbb{Z}_+$ .
Por ejemplo, utilizando $c_{0,n}$ da la prueba de la proporción. Sin embargo, la prueba de la proporción no suele ser concluyente, por ejemplo si $a_n = 1/(n(n-1))$ . Sin embargo, si utilizamos $c_{1,n}=n$ obtenemos
$$\begin{align*} S = T & = \lim_{n \to \infty} \left(n \frac{(n+1)n}{n(n-1)}-(n+1)\right) \\ & = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n-1}(n-(n-1)) \\ & = 1>0 \\ \end{align*}$$
Por lo tanto, $\sum_{n=0}^\infty a_n$ converge.
Para una serie de términos positivos de la forma $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$$
a. converge si $p>1$
b. diverge si $p\le 1$ (prueba de la serie p)
Por ejemplo. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{n^2+5}$$ diverge como para $n\rightarrow\infty$ , $u_n=\frac{2n+3}{n^2+5}\approx\frac{2n}{n^2}\approx\frac{1}{n}$ .
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