Significado combinatorio de la ecuación funcional del logaritmo

Question

Si fijamos $\exp(x)=\sum x^k/k!$ entonces $\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$ . En términos de coeficientes significa que $(x+y)^n=\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} x^ky^{n-k}$ es decir, sólo expansión binomial.

Consideremos ahora el logaritmo. Establece $L(x):=\sum_{k>0} x^k/k$ entonces $L(x)=-\log(1-x)$ en cierto sentido, y por tanto $$L(u+v-uv)=L(u)+L(v),$$ es decir $\sum (u+v-uv)^n/n=\sum (u^n+v^n)/n$ o, si pasamos a coeficientes de $u^av^b$ ( $a,b\geq 1$ ), obtenemos $$ \sum_k (-1)^k\frac{(a+b-k-1)!}{(a-k)!(b-k)!k!}=0 $$

La cuestión es cuál es el significado combinatorio de esta identidad. ¿Quizás sea alguna fórmula de exclusión-inclusión, como es habitual para sumas alternantes?

Answer 1

Como ha señalado David, dado que los sumandos no son en general números enteros, es difícil dar una interpretación combinatoria a la fórmula. Sin embargo, si multiplicamos por $a$ o $b$ obtenemos números enteros y podemos dar una interpretación combinatoria a la identidad que obtenemos (aunque al hacer esto se destruye la simetría entre $a$ y $b$ ).

Si multiplicamos por $b$ la suma puede escribirse $$\sum_{k=0}^a (-1)^k \binom{a+b-k-1}{a-k}\binom{b}{k}.$$ Se trata de un caso especial ( $m=a+b-1$ ) de la identidad más general $$\sum_{k=0}^a (-1)^k\binom{m-k}{a-k}\binom{b}{k} = \binom{m-b}{a},$$ que podemos demostrar combinatoriamente. (Por cierto, esta identidad es una forma del teorema de Vandermonde).

Para demostrar esta fórmula, partimos de un conjunto $M$ de tamaño $m$ con un subconjunto $B$ de tamaño $b$ . Para interpretar $\binom{m-k}{a-k}\binom{b}{k}$ elegimos a $k$ -subconjunto $K$ de $B$ y, a continuación, elija un $(a-k)$ -subconjunto $C$ de $M-K$ . El lado derecho $\binom{m-b}{a}$ cuenta pares $(K,C)$ en el que $K$ está vacío y $C$ es un $a$ -subconjunto de $M-B$ . Para demostrar la identidad, encontramos una involución en el conjunto de pares $(K,C)$ no de esta forma que cambia la paridad de $|K|$ . Los pares $(K,C)$ a cancelar son aquellas en las que $K\cup C$ contiene al menos un elemento de $B$ . Entonces la involución desplaza el elemento más pequeño de $(K\cup C) \cap B$ de $K$ a $C$ o de $C$ a $K$ .

Answer 2

No conozco una interpretación combinatoria, pero he aquí una prueba rápida. Sea $1 \leq a \leq b$ . Escriba a $$\sum_{0 \leq k \leq a} (-1)^k \frac{(a+b-k-1)!}{(a-k)! (b-k)! k!} = \frac{1}{a!} \sum_{0 \leq k \leq a} (-1)^k \frac{(a+b-k-1)!}{(b-k)!} \binom{a}{k}$$ $$= \frac{1}{a!} \sum_{0 \leq k \leq a} (-1)^k f(k) \binom{a}{k}$$ donde $$f(k) = (a-1+b-k)(a-2+b-k) \cdots (2+b-k)(1+b-k).$$ Desde $f(k)$ es un polinomio de grado $a-1$ su $a$ -ésima diferencia es cero. (Utilizamos la hipótesis $0 \leq k \leq a \leq b$ para asegurarse de que $(a+b-k-1)! / (b-k)!$ nunca es $0/0$ .)

Una interpretación combinatoria puede resultar difícil porque los sumandos no siempre son números enteros. EG: $a=b=2$ da $3/2 - 2+1/2=0$ .