¿Polinomio mónico de coeficientes enteros con raíces en el círculo unitario, no raíces de la unidad?

Question

Ciertamente hay polinomios no mónicos de grado 4 con todas las raíces en el círculo unitario, pero ninguna raíz es raíz de la unidad; $5 - 6 x^2 + 5 x^4$ por ejemplo.

Ahora, para un polinomio mónico de grado $n$ Esto es imposible (creo).

Así que mi pregunta es, dado un polinomio mónico con coeficientes enteros de grado $n$ , ¿cuál es el número máximo de raíces que pueden estar en el círculo unitario y no ser raíces de la unidad?

Por ejemplo, $1 + 3 x + 3 x^2 + 3 x^3 + x^4$ tiene dos raíces en el círculo unitario y dos raíces reales.

Answer 1

Existen polinomios mónicos irreducibles tales que todas sus raíces excepto dos se encuentran en el círculo único (y no son raíces de la unidad). Tales polinomios se pueden elegir entre los polinomios de Salem y salen en grado alto arbitrario. Por definición, un polinomio de Salem $S(x)\in \mathbb Z[x]$ es un polinomio recíproco irreducible mónico con exactamente dos raíces fuera del círculo unitario, ambas reales y positivas. Por supuesto, ninguna de las raíces de estos polinomios son raíces de la unidad, ya que estos polinomios son irreducibles.

Véase, por ejemplo, el teorema 1.6 del artículo

Automorfismos de retículos unimodulares pares y números de Salem unramificados de Gross y Mcmullen:

http://www.math.harvard.edu/~ctm/home/text/papers/unim/unim.pdf

Teorema. Para cualquier número entero impar $n\ge 3$ existen infinitos polinomios de Salem no ramificados de grado $2n$ .

Answer 2

Para una clase de ejemplos concretos con al menos asintóticamente más de $n/2$ ceros en el círculo unitario, los polinomios de Fekete, mencionados recientemente por Franz Lemmermeyer en esta pregunta sobre el número de clases, podría ser fructífero a este respecto.

Definirlos por $$ f_p(x)=\sum_{a=0}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)x^a, $$

parece que

$$ \frac{f_p(x)}{x(x-1)} $$ cuando $p\equiv 3 \bmod 4$

y $$ \frac{f_p(x)}{x(x-1)^2(x+1)} $$

cuando $p \equiv 1 \bmod 4$ se consideran irreductibles. (Véase otra pregunta aquí .) (Agradecería que me corrigieran si estoy equivocado en esto).

Ahora se ha demostrado en

B. Conrey, A. Granville, B. Poonen, K. Soundararajan, Ceros de los polinomios de Fekete

que asintóticamente más de la mitad de los ceros se encuentran en el círculo unitario.

Answer 3

Sólo un par de pequeñas puntualizaciones a la agradable respuesta de Dimitri.

1. Para cada par $n\ge2$ el polinomio $p_n(x)=x^n-x^{n-1}-\dots-x+1$ es un polinomio de Salem.
2. No se sabe si por alguna $\delta>0$ existe un polinomio de Salem tal que $\theta<1+\delta$ por su raíz más grande $\theta$ (que es un número de Salem). Conjetura de Lehmer sugiere que la respuesta es no.

Answer 4

En primer lugar, tienes razón: si las raíces de un polinomio mónico están todas en el círculo unitario, entonces cada raíz es una raíz de la unidad. Esto se deduce de un resultado de Kronecker (véase: Dos teoremas sobre ecuaciones con coeficientes enteros ).

En segundo lugar, lo que buscas son Polinomios de Salem. Véase, por ejemplo, la definición 2.1 aquí . Puede haber un número arbitrario de raíces en el círculo unitario (ninguna de las cuales es raíz de la unidad) con sólo otras dos raíces situadas fuera de $S^1$ .

Answer 5

Se trata de un comentario adelantado basado en la dinámica algebraica. Cada polinomio $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ induce un sistema dinámico algebraico (es decir, un automorfismo de un grupo abeliano compacto). Si $f(x)$ no tiene raíces que sean raíces de la unidad, entonces se sabe que el sistema tiene entropía estrictamente positiva. La entropía se calcula sumando los logaritmos de los valores absolutos de los valores propios. Si todos están en el círculo unitario entonces se obtendría cero, lo cual es incorrecto. Entonces, ¿de dónde viene la entropía positiva? De la $p$ -valores propios de $f(x)$ (véase Automorfismos de solenoides y entropía p-ádica Lind y Ward, Ergodic Th. & Dynam. Syst. 8 (1988), 411-419).

En otras palabras, si $f(x)$ tiene todas sus raíces (complejas) en el círculo unitario (y no son raíces de la unidad), entonces debe tener $p$ -radicales que tienen $p$ -norma radical estrictamente mayor que uno. Para el polinomio mencionado en la primera frase, existe una raíz 5-ádica con norma > 1. En cierto sentido, ésta es la formulación (adelic) correcta del teorema de Kronecker mencionado anteriormente.