Ayuda con la integral difícil

Question

Según mi libro de texto,

$$\int \left( 2 \cot^2{x} - 3 \tan^2{x} \right)dx = -2 \cot{x} - 3 \tan{x} + C$$

Soy incapaz de llegar a esta respuesta. ¿Es correcta? Si es así, por favor ayúdame con la integral.

Answer 1

Como dijo John Carpenter, puedes utilizar fórmulas de reducción. De lo contrario, puede intentar convertir $ \tan^2 x $ a $\sec^2 x$ y $\cot^2x$ a $\csc^2 x$ que tienen fórmulas "directas".

Answer 2

Pista: Intenta utilizar las fórmulas de reducción si te las han enseñado. Si no te las han enseñado, dímelo y te ayudaré.

Answer 3

He aquí una pista: Utilice $$ \cot^2(x) = \csc^2(x) - 1\\ \frac{d}{dx} (-\cot(x)) = \csc^2(x). $$ Es decir $$ \int \csc^2(x) = -\cot(x) + C. $$ Ahora encontrar algo similar para la tangente.

Answer 4

$\int (2\cot^2(x)-3\tan^2(x)) dx$ =

$\int (2(\csc^2(x)-1)-3(\sec^2(x)-1)) dx$ =

$\int (2\csc^2(x)-2-3\sec^2(x)+3) dx$ =

$\int (2\csc^2(x)-3\sec^2(x)+1)dx$ = $ -2\cot(x)-3\tan(x)+x+C$