Espacios medibles Prueba Explicación

Question

En primer lugar, en el siguiente teorema . Se demuestra $ \mathcal{F'} = \sigma(\mathcal{A'})$ lo mismo que demostrar que $T$ es $ \mathcal{F} / \sigma(\mathcal{A'})-measurable$ ¿Por qué? $$$$

Me cuesta entender las partes resaltadas

¿Podría explicar por cada parte resaltada por qué es cierta y por qué la mencionamos o por qué la utilizamos? Además, ¿significa el resultado final que $T$ es $ \mathcal{F} / \sigma(\mathcal{A'})-measurable$ En caso afirmativo, ¿por qué?

Answer 1

En relación con la $4$ destacados.

1) Si $T$ es medible entonces por definición satisface $T^{-1}(F)\in\mathcal F$ para cada $F\in\mathcal F'$ . Aquí $\mathcal F'=\sigma(\mathcal A')$ lo que implica que $\mathcal A'$ es un subcolección de $\mathcal F'$ . Así que si $T$ es medible tendremos $T^{-1}(F)\in\mathcal F$ para cada $F\in\mathcal A'$ . Esto puede reformularse como: $T$ sólo puede ser $\mathcal F/\mathcal F'$ -medible si $T^{-1}(A')\in\mathcal F$ para cada $A'\in\mathcal A'$ . En otras palabras: es un necesario estado.

2) Esto no es más que una definición. $\mathcal G'$ denota la colección de todos los subconjuntos de $\Omega'$ que tienen la propiedad de que su preimagen bajo $T$ es un elemento de $\mathcal F$ .

3) Como hemos dicho en 1) para cada $F\in\mathcal A'$ es cierto que su preimagen bajo $T$ (es decir, el conjunto $T^{-1}(F)$ ) es un elemento de $\mathcal F$ . Según la definición de $\mathcal G'$ dada en 2) la afirmación de 1) puede traducirse en $\mathcal A'\subseteq\mathcal G'$ .

4) en i),ii),iii) se demuestra que la colección $\mathcal G'$ es un $\sigma$ -álgebra. Esto con $\mathcal A'\subseteq\mathcal G'$ como se ha dicho en 3) y de ello podemos concluir que también $\mathcal F':=\sigma(\mathcal A')\subseteq\mathcal G'$ . Tan demostrado está ahora que cada $F\in\mathcal F'$ tiene la propiedad de que su preimagen bajo $T$ es un elemento de $\mathcal F$ . Esto afirma exactamente que $T:(\Omega,\mathcal F)\to(\Omega',\mathcal F')$ es medible. O utilizando otra notación que la función $T:\Omega\to\Omega'$ es $\mathcal F/\mathcal F'$ -medible.

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editar :

Se puede demostrar que para cada subcolección $\mathcal{A}'\subseteq\wp\left(\Omega'\right)$ que tenemos: $$\sigma\left(T^{-1}\left(\mathcal{A}'\right)\right)=T^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{A}'\right)\right)\tag1$$ donde $T^{-1}(\mathcal V):=\{T^{-1}(V)\mid V\in\mathcal V\}$ para cualquier $\mathcal V\subseteq\wp(\Omega')$ .

Para saber cómo demostrarlo, véase aquí .

Demostrar que $T$ es $\mathcal{F}/\mathcal{F}'$ - mensurable es lo mismo que demostrarlo: $T^{-1}\left(\mathcal{F}'\right)\subseteq\mathcal{F}$ o equivalentemente: $$T^{-1}\left(\sigma\left(\mathcal{A}'\right)\right)\subseteq\mathcal{F}$$ Pero $\left(1\right)$ nos dice que esta es la misma condición que: $$\sigma\left(T^{-1}\left(\mathcal{A}'\right)\right)\subseteq\mathcal{F}$$ que a su vez es equivalente con la condición: $$T^{-1}\left(\mathcal{A}'\right)\subseteq\mathcal{F}$$

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Le aconsejo encarecidamente que ponga $(1)$ en tu "mochila matemática".