La hipótesis de Riemann y el programa de Langlands

Question

En la página 263 de este reseña del libro aparece lo siguiente:

Dada la centralidad de las funciones L para el programa de Langlands, nada parecería más natural (que una presentación de la teoría algebraica elemental de números desde el punto de vista de las funciones L y sus propiedades analíticas), pero de hecho las propiedades de las funciones L tradicionalmente de interés para los teóricos analíticos de números -por ejemplo, la localización de los ceros en la franja crítica (la Hipótesis de Riemann Generalizada)- han tenido históricamente poco que ver con las preocupaciones del programa de Langlands. Gracias en gran medida a los esfuerzos de unos pocos individuos carismáticos y decididos, esto está empezando a cambiar y el propio Langlands ha recurrido en los últimos años a métodos de la teoría analítica de números en un intento de ir más allá de los límites visibles de las técnicas desarrolladas en las últimas décadas.

Me gustaría pedir una exposición general de cómo estas cuestiones sobre la localización de los ceros de las funciones L aparecen e interactúan con el programa Langlands. Mi interés es principalmente cultural y la respuesta debería estar hecha a medida para los ajenos a la teoría de números (estoy viendo el programa de Langlands algebraicamente como la búsqueda de una teoría de campos de clase no abeliana).

Una pregunta más cruda es:

¿Dice algo el programa de Langlands sobre la Gran Hipótesis de Riemann o viceversa?

Es casi seguro que es una pregunta demasiado burda para MO, pero Langlands parece tener un atractivo unificador tan asombroso, que siento la tentación de ver cuánto subsume. Espero una respuesta del tipo "Es imposible discutir esto de forma coherente sin años de formación". Gracias de antemano por cualquier intento de explicar las cosas a alguien que no sea un teórico de los números.

Answer 1

Se puede utilizar la functorialidad de Langlands para eliminar los llamados ceros de Siegel de un automorfo $L$ -función. Por ejemplo, Hoffstein-Ramakrishnan (IMRN 1995) demostró que la $L$ -función de a $GL(n)$ forma de cúspide para $n>1$ no tiene ningún cero de Siegel si todos $GL(m)\times GL(n)$ $L$ -las funciones son $GL(mn)$ $L$ -funciones. Hay varios resultados incondicionales en esta línea, por ejemplo, en el mismo artículo se muestra que la $L$ -función de a $GL(2)$ forma de cúspide no tiene cero de Siegel.

Answer 2

La teoría de números puede parecer al principiante una colección de resultados muy aleatorios, y sólo recientemente en sus 5.000 años de historia ha empezado a emerger una visión más amplia. Un informe de la NAS de principios de los 90 me hizo ver que la teoría de números se centra ahora en tres cuestiones, cada una de las cuales tiene que ver con $L$ -funciones.

La primera área es la hipótesis de Riemann, y sus generalizaciones a más generales $L$ -funciones. Las cuestiones sobre la distribución vertical y horizontal de los ceros iniciadas por Montgomery e influidas por la teoría de matrices aleatorias entran en este ámbito.

El segundo ámbito es el programa Langlands. A diferencia de la hipótesis de Riemann, el programa de Langlands recibe su nombre de la parte más avanzada de la teoría, no de la pregunta original. Pero las raíces del programa de Langlands se remontan a la Ley de Reciprocidad Cuadrática de Gauss: Dado un primo impar $q$ , dejemos que $\epsilon=\pm 1$ para que $\epsilon q\equiv 1\bmod 4$ . Entonces para un primo impar $p$ los símbolos de Legendre $(\frac{p}{q})$ y $(\frac{\epsilon q}{p})$ son iguales. Más abstractamente, la representación de Galois que surge del símbolo de Kronecker $(\frac{\epsilon q}{*})$ tiene el mismo $L$ como el carácter Dirichlet $(\frac{*}{q})$ . Langlands interpreta este último como un automórfico de on $GL(1)$ .

La tercera área son las conjeturas de Bloch-Beilinson, que incluyen la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer como caso especial. La manifestación más sencilla de ellas es la fórmula del número de clase de Dirichlet.

Como responde GH, las distintas áreas se relacionan entre sí. La posibilidad de un cero de Landau-Siegel nos impide obtener el límite inferior de los números de clase que esperamos. El hecho de que se supiera que las curvas elípticas CM eran automórficas permitió a Birch y Swinnerton-Dyer calcular ejemplos suficientes para hacer una conjetura.

Answer 3

Esto no responde realmente a la pregunta, pero parece digno de mención que para que la hipótesis de Riemann esté bien formulada para una función L motívica, hay que saber que la función L es también una función L automórfica. Por ejemplo, a priori todo lo que se sabe sobre la función L de una curva elíptica es que converge para $Re(s) > 3/2$ (por Hasse). Se necesita automorficidad para extender la función L a $Re(s) = 1$ y la hipótesis de Riemann para la función L de una curva elíptica establece que todos los ceros (¿no triviales?) de la función L se encuentran en la recta $Re(s) = 1$ .

Answer 4

El análogo de la hipótesis de Riemann para la función zeta de Selberg para $\Gamma(N) \backslash \mathbb{H}$ se conoce como la conjetura del valor propio de Selberg. Se deduce de la functorialidad de Langlands. Sin embargo, todos estos ceros, salvo un número finito, se encuentran en $\Re s =1/2$ de antemano, por lo que es muy diferente de la función zeta de Riemann.