Supongamos que $f$ es una función integrable de Lebesgue en $[0,1]$ cuyo conjunto de discontinuidades es de medida de Lebesgue cero. ¿Es cierto que la suma de Riemann $\frac1n \sum_{k=1}^n f(k/n)$ converge a $\int_0^1 f(x) dx$ como $n$ ¿llega hasta el infinito? Recuerde que el $f$ puede no tener límite, por lo que falla la teoría de integración de Riemann.
Respuestas
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mookid
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Consideremos una función integrable de Lebesgue $f:[0,1]\to\Bbb R$ y modificarlo en $\Bbb Q$ para que $$ x\in\Bbb Q\implies f(x) = 0 $$
En $\lambda(\Bbb Q) = 0$ la representación de $f$ en $L^1([0,1])$ no cambia.
Pero las sumas de Riemann $$ S_n = \frac1n \sum_{k=1}^nf\left(\frac kn\right) $$ son todos nulos.
Una pregunta más compleja es:
si para casi cualquier elección de $$ \frac {k-1}n\le x_{k,n}\le \frac kn $$ las sumas $$ \frac1n \sum_{k=1}^n f(x_{k,n}) $$ convergen a $I$ entonces $I$ es la integral de $f$ .
Test
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Defina $f$ en $(0,1]$ como sigue: $$ f(x):=\begin{cases} 1/x,&1/x\in\mathbb N\,,\\ 0,&\text{otherwise}\,. \end{cases} $$ Claramente, $f$ es continua en casi todas partes en $(0,1]$ y $\int_0^1f(x)dx=0$ . Sin embargo, para todos $n\ge1$ , $$ \frac1n\sum_{j=1}^nf(j/n)\ge\frac1nf(1/n)=1\,. $$ Por lo tanto, las sumas de Riemann no convergen a cero.
