¿Hay un contraejemplo?
Propuesta: Que $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ ser una función diferenciable tal que $f':\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ es diferenciable en $a\in\mathbb{R}$ (posiblemente diferenciable en un punto). Entonces es continua en un intervalo de $f':\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ $(a-\delta,a+\delta)$ $\delta>0$.
Se agradecería cualquier insinuación.
El problema es que una función de $g$ puede ser continua en $a$ sin ser continua en cualquier intervalo alrededor de a $a$. Así que usted quiere una función de $g$ que es integrable, por lo que se puede considerar el $f(x) = \int_a^x g(t)\,dt$.
Yo sugeriría algo así (teniendo en $a=0$) $$g(t) = \begin{cases} 1/[1/t], & 0<t\le 1 \\ 0, &\text{otherwise}\,. \end{cases}$$ Ahora establezca $f(x) = \int_0^x g(t)\,dt$.
Parece que la hipótesis en que el problema puede haber cambiado, o me he perdido algo. Por eso queremos que esta función $g$ que es diferenciable en a $0$ sin ser continua en un intervalo alrededor de a $0$. ¿Cómo podemos modificar esta $g$? (SUGERENCIA: Tenemos una secuencia de puntos de $x_n\to 0$$g(x_n)=x_n$. Podemos hacer que se $g(x_n)=x_n^2$?)
La respuesta es: "Sí, hay un contraejemplo". Sin embargo, yo no estoy absolutamente convencido de que mi propuesta ejemplo en los comentarios de "obras". Aquí (un boceto de) un ejemplo acerca de lo que me siento con confianza. Ninguna reclamación de la simplicidad; después de tantas salidas en falso, estoy en un excesivo estado de ánimo.
Deje $s(x) = x^2 \sin(1/x)$, extendido por la continuidad.
Deje $\psi:\mathbf{R} \to \mathbf{R}$ ser un suave golpe función de apoyo en $[-1, 1]$ e igual a $1$ en un barrio de $0$.
Deje $\phi(x) = \psi(x) s'(x)$. Los puntos importantes son: (i) $\phi$ es la derivada de alguna función $\Phi$$\mathbf{R}$; (ii) $\Phi' = \phi$ es discontinua en a $0$ y continua en todas partes; (iii) Para una mayor comodidad, y sin pérdida de generalidad (por el ajuste de la protuberancia de la función, por ejemplo), podemos suponer que $\Phi$ sí es admitido en $[-1, 1]$.
Siguiente Ted Shifrin de la construcción, vamos a construir $g = f'$. La idea es de suma adecuadamente cambiado y escala $\Phi$s de tal manera que (i) cada punto de $\mathbf{R}$ se encuentra en el apoyo de más de un sumando (por lo $g$ es diferenciable lejos de la acumulación de los puntos de los extremos de los soportes); (ii) las discontinuidades de los sumandos se acumulan en $0$ (de modo que $g'$ es discontinua en algún lugar en todos los barrios de $0$); (iii) $|g(x)| \leq Cx^2$ algunos $C > 0$ (de modo que $g$ es diferenciable en a $0$, el único punto de acumulación de los apoyos de los sumandos).
Que las propiedades del párrafo anterior se puede lograr es probablemente seguro para salir como un ejercicio. Una estrategia es, para cada entero positivo $n$, a escala y cambio de una copia de $\Phi$ para hacer el soporte de $[1/(2n+1), 1/2n]$ y la altura máxima en $1/n^2$.
El deseado contraejemplo es $f(x) = \int_0^x g$.
Como G. H. Hardy apócrifamente dijo, "Sí, es trivial."
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