Uso del teorema del residuo para calcular la integral $\int\limits_0^{2\pi} \frac{dx}{10+6\sin x}$ - ¿dónde está mi error?

Question

Debo calcular: $$ \int\limits_0^{2\pi} \frac{dx}{10+6\sin x} $$

Podemos establecer $\gamma(t)=e^{it}$ para $t \in [0, 2\pi]$ y luego $z = e^{it}$ , $\dfrac{dz}{iz}=dt$ , $\sin t =\dfrac{1}{2i}(z-\frac{1}{z})$ para que:

$$ \int\limits_0^{2\pi} \frac{dx}{10+6\sin x} = \int\limits_\gamma \frac{dz}{\left(10+\frac{3}{i}(z-\frac{1}{z})\right)iz} = \int\limits_\gamma \frac{dz}{\left(10iz+3z^2-3\right)} $$ Las raíces del denominador son $-3i$ y $\frac{-i}{3}$ pero como el número sinuoso de $-3i$ es igual a 0 tenemos: $$ \int\limits_\gamma \frac{dz}{10iz+3z^2-3} = 2 \pi\, i\, Res\left(f,\frac{-i}{3}\right)\cdot1 $$ Cálculo de residuos: $$ Res\left(f,\frac{-i}{3}\right) = \lim_{\large z \to \frac{-i}{3}} \frac{1}{(z+3i)}=\frac{3}{8i} $$ Resumiendo: $$ \int\limits_0^{2\pi} \frac{dx}{10+6\sin x} = 2\pi i \cdot \frac{3}{8i} = \frac{3\pi}{4} $$ Pero wolfram dice que es igual a $\dfrac{\pi}{4}$ . ¿Podría ayudarme a detectar mi error?

Answer 1

El error proviene del cálculo del residuo.

Tenemos $Res(f, -\frac{i}{3})=lim_{z\rightarrow\frac{-i}{3}}\frac{z+\frac{i}{3}}{(z+3i)(3z+i)}=\frac{1}{3}lim_{z\rightarrow\frac{-i}{3}}\frac{3z+i}{(z+3i)(3z+i)}=\frac{1}{3}lim_{z\rightarrow\frac{-i}{3}}\frac{1}{(z+3i)}=\frac{1}{3}\frac{1}{\frac{-i}{3}+3i}=\frac{1}{3}\frac{1}{\frac{8i}{3}}=\frac{1}{3}\frac{-3i}{8}=\frac{-i}{8}$ .

Answer 2

$$ \operatorname{Res}\left(f,\frac{-i}{3}\right) = \lim_{z \to \frac{-i}{3}} \frac{1}{\color {red}3(z+3i)}=\frac{1}{8i}. $$

Answer 3

Cometiste un error al encontrar residuos $$ Res\left(f,\frac{-i}{3}\right) = \lim_{z \to \dfrac{-i}{3}} \frac{1}{3(z+3i)}=\frac{1}{3\left(-\frac i3+3i\right)}=\frac{1}{8i} $$ $$ \therefore \int\limits_0^{2\pi} \frac{dx}{10+6\sin x} = 2\pi i \cdot \frac{1}{8i} = \frac{\pi}{4} $$