Cómo demostrar que $X_t = (1+t)^{-1/2} \exp \biggl( \frac{B_t^2}{2(1+t)} \biggr)$ para un movimiento browniano $B$

Question

Demuestra que $X_t = (1+t)^{-1/2} \exp \biggl( \frac{B_t^2}{2(1+t)} \biggr)$ donde $B$ es un movimiento browniano, es una martingala.

Entiendo que tenemos que demostrar que $\mathbb{E}(X_t \vert \mathcal{F}_s) = X_s$ para todos $t \ge s \ge 0$ donde $\mathcal{F}$ es la filtración canónica de $X$ . Sin embargo, no veo cómo hacer este cálculo ya que aquí no tenemos función de densidad. ¿Podría explicármelo?

Answer 1

Sea $f(t,x)=(1+t)^{-1/2}\exp(\frac{x^2}{2(1+t)})$ . Usando la fórmula de Itô, $$ df(t,B_t)=\left[\frac{\partial f}{\partial t}(t,B_t)+\frac12\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(t,B_t)\right]dt+\frac{\partial f}{\partial x}(t,B_t)dB_t $$ Para demostrar $f(t,B_t)$ es una Martingala, sólo tienes que mostrar el $dt$ es cero, lo que sólo requiere un cálculo determinista.

Answer 2

Se puede calcular explícitamente el valor de la expectativa filtrada, dada la distribución de los incrementos del movimiento browniano $W_{st}=B_t-B_s$ y su independencia del incremento $W_{0s}=B_s$ :

$$\mathbb{E}[X_t|B_{T}, 0\leq T\leq s]=\mathbb{E}\left[(1+t)^{-1/2}\exp\left(\frac{(B_s+W_{st})^2}{2(1+t)}\right)\Bigg|B_s\right]\\=\frac{1}{\sqrt{2\pi(1+t)(t-s)}}\int_{-\infty}^{\infty}dx \exp[(B_s+x)^2/2(1+t)]\exp[-x^2/2(t-s)]$$

Esta integral es gaussiana. ¿Puedes tomarla desde aquí?