Demostrar que $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^n$ converge pero no converge absolutamente.

Question

Demostrar que $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^n$ converge pero no converge absolutamente.

Mi planteamiento hasta ahora era observar que $\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)=e^{in\frac{\pi}{4}}$ Así que $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^n=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}e^{in\frac{\pi}{4}}$ .

También he observado que $\sum^{k+7}_{n=k}e^{i\frac{\pi}{4}}=0$ para cualquier $k\geq1$ pero no estoy seguro de cómo proceder (¿tal vez utilizando la prueba de series alternas de alguna manera?)

Gracias.

Mi solución

Podemos dividir la suma en sumas pares e Impares:

$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^n=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2k}+\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2k+1}$

$\star$ Pero $\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2k}=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k}\left(\frac{2i}{2}\right)^{k}=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k}i^{k}$ que converge por la prueba de la serie alterna.

$\star$ También, $\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2k+1}=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^{2k}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)=\sum^{\infty}_{k=1}\frac{1}{2k+1}i^k\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)$ que converge por la prueba de la serie alterna.

Por lo tanto, $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^n$ converge.

Sin embargo, $\left|\frac{1+i}{\sqrt2}\right|^n=1$ para todos $n$ Así que

$\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}\left|\frac{1+i}{\sqrt2}\right|^n=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}$ que es una serie divergente. Entonces, $\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n}\left(\frac{1+i}{\sqrt2}\right)^n$ no converge absolutamente.

No estoy seguro de si los pasos etiquetados $\star$ son correctas.

Answer 1

Divida la suma en sumas pares e Impares. Los términos de la suma impar se encuentran en la recta paralela a $1+i$ y se puede utilizar la prueba de la serie alterna para demostrar que esta subserie converge. Haga lo mismo con los términos pares a lo largo de la recta paralela a $-1+i$ .

Answer 2

SUGERENCIA: $$\left(\dfrac{1+i}{\sqrt2}\right)^n=e^{\dfrac{n\pi i}{4}}$$ y $$\left|\dfrac{1+i}{\sqrt2}\right|^n=1.$$ También $\sum_{n\in\mathbb{N}}\dfrac1{n}$ es divergente.

Sea $$S_{x,m}=\sum_{n=1}^m\dfrac{e^{\left(\dfrac{nx\pi i}{4}\right)}}{n},$$ entonces calcula $\dfrac{dS_{x,m}}{dx}$ y usando eso serías capaz de calcular $$\sum_{n\in\mathbb{N}}\dfrac{e^{\left(\dfrac{n\pi i}{4}\right)}}{n}.$$

Answer 3

Pista. Primero observa que la secuencia $A_n=\sum_{k=1}^n w^n$ donde $w=\exp(i\pi/4)$ está limitada.

A continuación, escriba su secuencia como $$ \sum_{k=1}^n\frac{w^n}{n}=\sum_{k=1}^n \frac{A_n-A_{n-1}}{n}=\sum_{k=1}^n \frac{A_n}{n}-\sum_{k=1}^n \frac{A_{n-1}}{n}=\sum_{k=1}^n \frac{A_n}{n}-\sum_{k=0}^{n-1} \frac{A_{n}}{n+1}=\frac{A_n}{n}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{A_n}{n(n+1)}. $$ Ahora ambos términos del lado derecho convergen, ya que $n\to\infty$ .