Identidades trigonométricas//Serie de Fourier

Question

Básicamente tengo que encontrar el valor de una constante $M$ de esta ecuación: $$l(x)=0=\sum M\Big(\frac{n\pi}{L}\Big)\sin(n\pi x) $$ mediante la serie de Fourier. Sin embargo, la fórmula habitual de la serie de Fourier es: $$l(x)=a_0 + \sum a_n \cos \Big(\frac {n\pi x}{L}\Big) +b_n \sin \Big(\frac {n\pi x}{L}\Big) $$ Entonces, ¿es posible expresar $\sin(n\pi x)$ como $\sin \big(\frac {n\pi x}{L}\big)$ ¿o hay alguna otra manera?

Answer 1

Multiplica ambos lados por $sin(m\pi x)$ y luego integral a lo largo de un periodo.

$$ \int _0^\frac{2}{m}l(x)\sin (m \pi x)dx = \int _0^\frac{2}{m} \sum_n M\frac{n\pi}{L}sin(n\pi x)sin(m \pi x)dx $$ Esta integral del lado derecho es igual a cero para todo $n$ excepto cuando $n=m$ donde está $\frac{M\pi}{L}$ . Así que tienes: $$ M = \frac{L}{\pi}\int _0^\frac{2}{m}l(x)\sin (m \pi x)dx $$