Producto de vectores contravariantes

Question

Como estudiante graduado de CS, estoy tratando de aprender tensores utilizando un recurso en línea. [1] Me quedé atascado trabajando en el siguiente ejercicio.

Se define el siguiente tensor de dos vectores:

$$t^{\mu \upsilon} = v^\mu w^\upsilon - w^\upsilon v^\mu$$

Demuestra que $t^{\mu \upsilon}$ es antisimétrico.

---

Mi proceso de pensamiento fue que $v^\mu w^\upsilon$ - $w^\upsilon v^\mu$ debería ser 0, porque esencialmente estoy computando:

$$\begin{pmatrix} u^1v^1 & u^1v^2 & \cdots & u^1v^n\\ u^2v^1 & u^2v^2 & \cdots & u^2v^n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u^mv^1 & u^mv^2 & \cdots & u^mv^n\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} v^1u^1 & v^2u^1 & \cdots & v^nu^1\\ v^1u^2 & v^2u^2 & \cdots & v^nu^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v^1u^m & v^2u^m & \cdots & v^nu^m\\ \end{pmatrix}$$

En ese caso, $t^{\mu \upsilon}$ sería antisimétrica de forma trivial. ¿Qué se me escapa? Como nota al margen, ¿hay algún libro/recurso que recomendarías sobre tensores con muchos ejercicios, de modo que sea útil para el autoestudio? Mi propósito es aprender lo suficiente sobre tensores como para escribir software que soporte contracciones tensoriales y descomposiciones tensoriales en tensores de hasta 4 rangos.

[1] http://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/tensor/tensor.pdf

Answer 1

El producto de los vectores base : $\vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}}$ no es lo mismo que $\vec{e_{\nu}}\otimes \vec{e_{\mu}}$ .

Mientras que una base para vectores es : $\vec{e_{\lambda}}$ la base de los tensores de rango $2$ son todas las combinaciones de : $\vec{e_{\lambda}}\otimes \vec{e_{\delta}}$

Por lo tanto, si ve el $v^{\mu}$ y $w^{\nu}$ como coordenadas de vectores el producto será :
$t^{\mu \nu} = v^\mu w^\nu\vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}} - w^\nu v^\mu \vec{e_{\nu}}\otimes \vec{e_{\mu}}$ . Así que las coordenadas no se pueden sumar de la forma en que lo hizo anteriormente para dar $t^{\mu \nu} = 0$ .

La forma correcta de demostrar la antisimetría es :

$t^{\mu \nu} = v^\mu w^\nu\vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}} - w^\nu v^\mu \vec{e_{\nu}}\otimes \vec{e_{\mu}} = -1 \cdot ( w^\nu v^\mu \vec{e_{\nu}}\otimes \vec{e_{\mu}} -v^\mu w^\nu\vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}} ) = -1 \cdot ( w^\mu v^\nu \vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}} -v^\nu w^\mu\vec{e_{\nu}}\otimes \vec{e_{\mu}} ) =-t^{\nu \mu}$

Nota :
En términos de matrices de coordenadas se podría decir :
$t^{\mu \nu} = v^\mu w^\nu\vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}} - w^\nu v^\mu \vec{e_{\nu}}\otimes \vec{e_{\mu}}= v^\mu w^\nu\vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}} - w^\mu v^\nu \vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}}= \left(v^\mu w^\nu - w^\mu v^\nu \right)\vec{e_{\mu}}\otimes \vec{e_{\nu}}$

O su ejemplo :

$\begin{pmatrix} 0 & u^1v^2-u^2v^1 & \cdots & u^1v^n-u^nv^1\\ u^2v^1-u^1v^2 & 0 & \cdots & u^2v^n-u^nv^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u^nv^1 -u^1v^n& u^nv^2-u^2v^n & \cdots & 0\\ \end{pmatrix}$

Más explicaciones en este artículo de la wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_tensor

Y aquí : Diferencias entre una matriz y un tensor