Como estudiante graduado de CS, estoy tratando de aprender tensores utilizando un recurso en línea. [1] Me quedé atascado trabajando en el siguiente ejercicio.
Se define el siguiente tensor de dos vectores:
$$t^{\mu \upsilon} = v^\mu w^\upsilon - w^\upsilon v^\mu$$
Demuestra que $t^{\mu \upsilon}$ es antisimétrico.
Mi proceso de pensamiento fue que $v^\mu w^\upsilon$ - $w^\upsilon v^\mu$ debería ser 0, porque esencialmente estoy computando:
$$ \begin{pmatrix} u^1v^1 & u^1v^2 & \cdots & u^1v^n\\ u^2v^1 & u^2v^2 & \cdots & u^2v^n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ u^mv^1 & u^mv^2 & \cdots & u^mv^n\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} v^1u^1 & v^2u^1 & \cdots & v^nu^1\\ v^1u^2 & v^2u^2 & \cdots & v^nu^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ v^1u^m & v^2u^m & \cdots & v^nu^m\\ \end{pmatrix} $$
En ese caso, $t^{\mu \upsilon}$ sería antisimétrica de forma trivial. ¿Qué se me escapa? Como nota al margen, ¿hay algún libro/recurso que recomendarías sobre tensores con muchos ejercicios, de modo que sea útil para el autoestudio? Mi propósito es aprender lo suficiente sobre tensores como para escribir software que soporte contracciones tensoriales y descomposiciones tensoriales en tensores de hasta 4 rangos.
[1] http://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/tensor/tensor.pdf