Se trata de un pregunta estándar de examen correspondiente al material de cinética que suele presentarse en un curso de química general de primer año. Por lo general, el temario se limita a la cinética de orden cero, primero y segundo, que es lo que se evalúa en los exámenes. A partir de la foto de la pregunta del examen, la descomposición es aparentemente de primer orden, es decir, $$\mathrm C(t) = C(0)e^{-kt}$$ donde $\mathrm C(t)$ es la concentración molar de lo que se está descomponiendo, $\mathrm C(0)$ es la concentración molar inicial (es decir, en $\mathrm t = 0$ ) de lo que se está descomponiendo, y $k$ es la constante de velocidad de decaimiento en unidades de $\mathrm s^{-1}$ . En el presente caso, $\mathrm C(0) = 0.4 M.$
Pero.., ¿es el decaimiento realmente exponencial ? Para determinarlo, sin ajustar los pares de datos a la curva ni linealizar el gráfico, basta con ver si la vida media, $\mathrm t_{1/2}$ es constante. A partir de la foto del gráfico, la concentración inicial disminuye a $\mathrm 0.2 M$ en acerca de $\mathrm t = 13 s$ . Tenga en cuenta que existen $\mathrm 10$ guión marca cada $\mathrm 10 s$ a lo largo del eje temporal, por lo que se trata de una ayuda, aunque imperfecto en la estimación de tiempos a lo largo del eje temporal. La concentración disminuye a $\mathrm 0.1 M$ en acerca de el $\mathrm 26 s$ y sigue bajando hasta acerca de $\mathrm 0.05 M$ en acerca de el $\mathrm 39 s$ marca.
Así que.., $\mathrm t_{1/2}$ es constante y aproximadamente igual a $\mathrm 13 s$ . Por lo tanto, el proceso de decaimiento es un exponencial de primer orden como se muestra en la ecuación superior. Tenga en cuenta que las únicas otras alternativas, en el contexto restringido de la cobertura típica del material del curso y la cobertura del examen de dicho material son cero y de segundo orden. Pero estos no tienen semividas constantes: para una desintegración de orden cero, cada semivida posterior se reduce a la mitad y para una desintegración de segundo orden, cada semivida posterior se duplica. El gráfico elimina claramente estas dos posibilidades. También es obvio que la desintegración no puede ser de primer orden, ya que entonces el gráfico de concentración frente a tiempo sería lineal. Si el decaimiento fuera de segundo orden, la concentración no podría bajar a $\mathrm 0.1M$ en menos de $\mathrm 30s$ aunque la primera $\mathrm t_{1/2}$ se subestimó claramente, ya que $\mathrm 10s$ .
La relación entre $\mathrm k$ y $\mathrm t_{1/2}$ es $\mathrm k = (ln2)/t_{1/2}$ . Esto se comprueba fácilmente mediante la sustitución en la ecuación exponencial, lo que da como resultado $$\mathrm C(t = t_{1/2}) = C(0)/2$$ Por lo tanto, con $\mathrm t_{1/2}$ estimado como $\mathrm 13s$ la constante de velocidad estimada es $\mathrm k = 0.053 s^{-1}$ .
Para hallar la tasa inicial de decaimiento, basta con diferenciar la ecuación exponencial y evaluarla en $\mathrm t = 0$ . La derivada es $$\mathrm dC(t)/dt = -kC(0)e^{-kt}$$ así que en $\mathrm t = 0$ la pendiente es simplemente $\mathrm -kC(0)$ y la magnitud de la pendiente es $\mathrm kC(0)$ . Con $\mathrm k = 0.053 s^{-1}$ y $\mathrm C(0) = 0.4 M$ se obtiene $\mathrm 0.021 M s^{-1}$ como magnitud inicial de la tasa. Redondeado a una cifra significativa, que es todo lo que merece este problema de examen, da como resultado $\mathrm = 0.02 M s^{-1}$ . Esta es la respuesta A del examen.
Una última cosa un pequeño error en la estimación de la vida media no importará porque la tasa de desintegración inicial es inversamente proporcional a ella, por lo que tendría que ser alta en un factor de dos para obtener la respuesta B en el examen.
