Fubini-Estudio métrico sobre $\mathbb{CP}^n$

Question

En $\mathbb{CP}^n$ tenemos $\phi_{\alpha}([z^1,...z^{n+1}])=(\omega_{\alpha}^1,...,\omega_{\alpha}^n)$ donde $$\omega_{\alpha}^i=\begin{cases} \frac{z^i}{z^{\alpha}}, & \text{if $1\leqslant i \lt \alpha$ } \\ \frac{z^{i+1}}{z^{\alpha}}, & \text{if $\alpha \leqslant i \leqslant n$} \end{cases}$$

La métrica Fubini-Study se define como $$h|_{U_{\alpha}}=\frac{\partial^2 ln f_{\alpha}}{\partial \omega_{\alpha}^i \partial \overline {\omega_{\alpha}^j}} d\omega_{\alpha}^i \otimes d\overline {\omega_{\alpha}^j}$$ donde $f_{\alpha}=1+\sum_{i=0}^n |\omega_{\alpha}^i|^2$

Quiero mostrar que en $U_{\alpha} \cap U_{\beta}$ todavía tenemos $h|_{U_{\alpha}}=h|_{U_{\beta}}$ . Más concretamente, tenemos $$\frac{\partial^2 ln f_{\alpha}}{\partial \omega_{\alpha}^i \partial \overline {\omega_{\alpha}^j}} d\omega_{\alpha}^i \otimes d\overline {\omega_{\alpha}^j}=\frac{\partial^2 ln f_{\beta}}{\partial \omega_{\beta}^i \partial \overline {\omega_{\beta}^j}} d\omega_{\beta}^i \otimes d\overline {\omega_{\beta}^j}$$

Ya he demostrado que en $U_{\alpha} \cap U_{\beta}$ tenemos $f_{\alpha}=f_{\beta} |\omega_{\alpha}^{\beta}|^2$ . Así que tenemos $$\frac{\partial^2 ln f_{\alpha}}{\partial \omega_{\alpha}^i \partial \overline {\omega_{\alpha}^j}}=\frac{\partial^2 ln f_{\beta}}{\partial \omega_{\alpha}^i \partial \overline {\omega_{\alpha}^j}}+\frac{\partial^2 ln \omega_{\alpha}^{\beta}}{\partial \omega_{\alpha}^i \partial \overline {\omega_{\alpha}^j}}+\frac{\partial^2 ln \overline{\omega_{\alpha}^{\beta}}}{\partial \omega_{\alpha}^i \partial \overline {\omega_{\alpha}^j}}$$

Eso es lo que he intentado pero soy incapaz de continuar. ¿Alguien puede ayudarme? Agradezco sus comentarios.

Answer 1

En primer lugar, te equivocas en el coeficiente $\frac{i}{2\pi}$ al definir la métrica Fubini-Study. Y $f_{\alpha} \,\text{should be}\,1+\sum_{i=1}^n |\omega_{\alpha}^i|^2$ en lugar de $1+\sum_{i=0}^n |\omega_{\alpha}^i|^2.$

Quieres mostrar $f_\alpha|_{U\alpha\cap U\beta}=f_\beta|_{U\alpha\cap U\beta}$ es decir $$\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log \left(\sum_{l=1}^{n+1}{|\frac{z_l}{z_\alpha}|}^2\right)=\frac{i}{2\pi}\partial\bar\partial\log \left(\sum_{l=1}^{n+1}{|\frac{z_l}{z_\beta}|}^2\right).$$ En efecto, $$\log \left(\sum_{l=1}^{n+1}\left|\frac{z_{l}}{z_{\alpha}}\right|^{2}\right)=\log \left(\left|\frac{z_{\beta}}{z_{\alpha}}\right|^{2} \sum_{l=1}^{n+1}\left|\frac{z_{l}}{z_{\beta}}\right|^{2}\right)=\log \left(\left|\frac{z_{\beta}}{z_{\alpha}}\right|^{2}\right)+\log \left(\sum_{l=1}^{n+1}\left|\frac{z_{l}}{z_{\beta}}\right|^{2}\right).$$

Por lo tanto, sólo tenemos que verificar $\partial\bar\partial\log\left(|\frac{z_\beta}{z_\alpha}|^2\right)=0$ en $U_\alpha\cap U_\beta$ que es evidente gracias a que por cada $f\in\mathcal O^*(U)$ , $\log |f|$ es pluriharmónico en $U$ es decir $$\partial\bar\partial \log|f|=0,$$ donde $U$ es un subconjunto abierto en una variedad compleja.