¿Qué significa "fiducial" (en el contexto de la estadística)?

Question

Cuando busco en Google

"fisher" "fiducial"

...seguro que recibo muchas visitas, pero todas las que he seguido están totalmente fuera de mi alcance.

Todos estos éxitos parecen tener algo en común: están escritos para estadísticos empedernidos, es decir, para personas que conocen a fondo la teoría, la práctica, la historia y la sabiduría de la estadística. (De ahí que ninguno de estos relatos se moleste en explicar o siquiera ilustrar lo que Fisher quería decir con "fiducial" sin recurrir a océanos de jerga y/o pasar la pelota a algún que otro clásico de la literatura estadística matemática).

Bueno, yo no pertenezco a la selecta audiencia a la que podría beneficiar lo que he encontrado sobre el tema, y quizá esto explique por qué cada uno de mis intentos de entender lo que Fisher quería decir con "fiducial" se ha estrellado contra un muro de galimatías incomprensible.

¿Alguien conoce algún intento de explicar a alguien que no sea estadístico profesional ¿qué entiende Fisher por "fiducial"?

P.D. Me doy cuenta de que Fisher se movía un poco cuando se trataba de precisar lo que quería decir con "fiducial", pero me imagino que el término debe tener algún "núcleo constante" de significado, de lo contrario no podría funcionar (como claramente lo hace) como terminología que se entiende generalmente dentro del campo.

Answer 1

El argumento fiducial consiste en interpretar probabilidad como probabilidad . Aunque la probabilidad mida la verosimilitud de un suceso, no satisface los axiomas de las medidas de probabilidad (en particular, no hay garantía de que sume 1), que es una de las razones por las que este concepto nunca tuvo tanto éxito.

Pongamos un ejemplo. Imaginemos que queremos estimar un parámetro, por ejemplo la vida media $\lambda$ de un elemento radiactivo. Se toman un par de medidas, digamos $(x_1, \ldots, x_n)$ del que se intenta deducir el valor de $\lambda$ . Desde el punto de vista del enfoque tradicional o frecuentista, $\lambda$ no es una cantidad aleatoria. Es una constante desconocida con función de verosimilitud $\lambda^n \prod_{i=1}^n e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda(x_1+\ldots+x_n)}$ .

Desde el punto de vista del enfoque bayesiano, $\lambda$ es una variable aleatoria con un distribución anterior las mediciones $(x_1, \ldots, x_n)$ son necesarios para deducir el distribución posterior . Por ejemplo, si mi creencia previa sobre el valor de lambda está bien representada por la distribución de densidad $2.3 \cdot e^{-2.3\lambda}$ la distribución conjunta es el producto de las dos, es decir $2.3 \cdot \lambda^n e^{-\lambda(2.3+x_1+\ldots+x_n) }$ . La posterior es la distribución de $\lambda$ dadas las mediciones, que se calcula con la fórmula de Bayes. En este caso, $\lambda$ tiene una distribución Gamma con parámetros $n$ y $2.3+x_1+\ldots+x_n$ .

Desde el punto de vista de la inferencia fiduciaria, $\lambda$ también es una variable aleatoria, pero no tiene una distribución a priori, sólo una distribución fiduciaria que sólo depende de $(x_1, \ldots, x_n)$ . Siguiendo con el ejemplo anterior, la distribución de referencia es $\lambda^n e^{-\lambda(x_1+\ldots+x_n)}$ . Es lo mismo que la probabilidad, salvo que ahora se interpreta como una probabilidad. Con la escala adecuada, es una distribución Gamma con parámetros $n$ y $x_1+\ldots+x_n$ .

Esas diferencias tienen efectos más notables en el contexto de la estimación de intervalos de confianza. Un intervalo de confianza del 95% en el sentido clásico es una construcción que tiene un 95% de probabilidades de contener el valor objetivo antes de recopilar datos . Sin embargo, para un estadístico fiducial, un intervalo de confianza del 95% es un conjunto que tiene un 95% de probabilidades de contener el valor objetivo (lo que constituye una típica interpretación errónea de los alumnos del enfoque frecuentista).

Answer 2

Varios estadísticos de renombre intentan reavivar el interés por el argumento fiducial de Fisher. Bradley Efron (no puedo copiar ni siquiera pequeñas citas de google books), el tema también se trata en Bradley Efron 2 . Dice algo así (no es una cita directa): La inferencia fiduciaria, a veces considerada el mayor error de Fisher, puede ser el mayor acierto de Fisher para el futuro. Así que hay gente que piensa que las ideas fiduciales volverán.

Un libro completo dedicado al tema (por algunos de mis antiguos profesores) es Schweder, T. & Hjort, N. L. (2016). Confianza, probabilidad, verosimilitud: Inferencia estadística con distribuciones de confianza . Cambridge University Press.

Proponen cambiar la terminología de "distribución fiduciaria" a "distribución de confianza". Incluso en algún momento intenté hacer una nueva etiqueta aquí confidence-distribution . Pero alguien erróneamente hizo que un sinónimo de etiqueta para confidence-interval . Grrrr (Si se hace un sinónimo, debería ser a fiducial .)