Cómo interpretar una fórmula que relaciona la nulidad de una potencia de un operador y la nulidad del operador

Question

Intento demostrar lo siguiente:

Sea $A$ sea un operador en un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ . Demostrar que, para cada entero no negativo $n$ , $$\operatorname{dim}\operatorname{ker}A^{n+1}=\operatorname{dim}\operatorname{ker}A+\sum_{k=1}^n\operatorname{dim}(\operatorname{im}A^k\cap\operatorname{ker}A).$$

Es cierto que tendré que invocar la nulidad de rango, y es probable que esto se haga mejor utilizando la inducción, pero me estoy atascando en los detalles. Más importante aún, estoy tratando de obtener algún tipo de comprensión visual de lo que está pasando aquí. Está claro que $\operatorname{ker}A\subseteq\operatorname{ker}{A^2}\subseteq...\subseteq\operatorname{ker}A^n$ pero me cuesta entender $\operatorname{im}A^k\cap\operatorname{ker}A$ . Incluso en el primer caso no trivial, no me resulta obvio por qué debería ser cierto que $$\operatorname{dim}(\operatorname{ker}A^2)=\operatorname{dim}(\operatorname{ker}A)+\operatorname{dim}(\operatorname{im}A\cap\operatorname{ker}A).$$

Answer 1

Como has sugerido, la afirmación puede demostrarse por inducción. Para $n=0$ no hay nada que mostrar. Para el paso de inducción, dejemos que $B := A^n|_{\ker A^{n+1}}$ . Entonces $\operatorname{im}(B) = \operatorname{im}(A^n)\cap\ker A$ . Esto es fácil de ver. Por lo tanto, la fórmula de rango-nulidad para $B$ produce $$ \dim\ker A^{n+1} = \dim\ker B + \dim\operatorname{im}B = \dim\ker A^n + \dim(\operatorname{im}(A^n)\cap\ker A). $$