¿Alguien conoce una forma rápida de obtener el clásico Dispersión Thomson (para fotones que se dispersan en electrones) a partir de la QED, evitando el largo cálculo que da lugar al Compton Sección transversal Klein-Nishina y tomando la $m\to\infty$ límite al final del día?
Respuesta
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Tyler Larson
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En realidad, hay una manera fácil de derivar Klein-Nishina. Primero derivar $\langle|\mathcal{M}|^2\rangle$ para el marco del centro de masa y luego usar un impulso de Lorentz para ir al marco del laboratorio. A continuación, establezca $\omega=\omega'$ para obtener la fórmula Thomson.
En el marco del centro de masa, sea $p_1$ sea el fotón entrante, $p_2$ el electrón entrante, $p_3$ el fotón dispersado, $p_4$ el electrón dispersado.
\begin{equation*} p_1=\begin{pmatrix}\omega\\0\\0\\ \omega\end{pmatrix} \qquad p_2= \begin{pmatrix}E\\0\\0\\-\omega\end{pmatrix} \qquad p_3=\begin{pmatrix} \omega\\ \omega\sin\theta\cos\phi\\ \omega\sin\theta\sin\phi\\ \omega\cos\theta \end{pmatrix} \qquad p_4= \begin{pmatrix} E\\ -\omega\sin\theta\cos\phi\\ -\omega\sin\theta\sin\phi\\ -\omega\cos\theta \end{pmatrix} \end{equation*}
donde $E=\sqrt{\omega^2+m^2}$ .
Es fácil demostrar que
\begin{equation} \langle|\mathcal{M}|^2\rangle = \frac{e^4}{4} \left( \frac{f_{11}}{(s-m^2)^2} +\frac{f_{12}}{(s-m^2)(u-m^2)} +\frac{f_{12}^*}{(s-m^2)(u-m^2)} +\frac{f_{22}}{(u-m^2)^2} \right) \end{equation}
donde
\begin{equation} \begin{aligned} f_{11}&=-8 s u + 24 s m^2 + 8 u m^2 + 8 m^4 \\ f_{12}&=8 s m^2 + 8 u m^2 + 16 m^4 \\ f_{22}&=-8 s u + 8 s m^2 + 24 u m^2 + 8 m^4 \end{aligned} \end{equation}
para las variables de Mandelstam $s=(p_1+p_2)^2$ , $t=(p_1-p_3)^2$ , $u=(p_1-p_4)^2$ .
A continuación, aplique un impulso de Lorentz para ir del fotograma del centro de masa al fotograma del laboratorio en el que el electrón está en reposo.
\begin{equation*} \Lambda= \begin{pmatrix} E/m & 0 & 0 & \omega/m\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \omega/m & 0 & 0 & E/m \end{pmatrix} , \qquad \Lambda p_2= \begin{pmatrix}m \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{equation*}
Las variables de Mandelstam son invariantes bajo un impulso. \begin{equation} \begin{aligned} s&=(p_1+p_2)^2=(\Lambda p_1+\Lambda p_2)^2 \\ t&=(p_1-p_3)^2=(\Lambda p_1-\Lambda p_3)^2 \\ u&=(p_1-p_4)^2=(\Lambda p_1-\Lambda p_4)^2 \end{aligned} \end{equation}
En el marco del laboratorio, que $\omega_L$ la frecuencia angular del fotón incidente y sea $\omega_L'$ sea la frecuencia angular del fotón disperso. \begin{equation} \begin{aligned} \omega_L&=\Lambda p_1\cdot(1,0,0,0)=\frac{\omega^2}{m}+\frac{\omega E}{m} \\ \omega_L'&=\Lambda p_3\cdot(1,0,0,0)=\frac{\omega^2\cos\theta}{m}+\frac{\omega E}{m} \end{aligned} \end{equation}
De ello se deduce que \begin{equation} \begin{aligned} s&=(p_1+p_2)^2=2m\omega_L+m^2 \\ t&=(p_1-p_3)^2=2m(\omega_L' - \omega_L) \\ u&=(p_1-p_4)^2=-2 m \omega_L' + m^2 \end{aligned} \end{equation}
Compute $\langle|\mathcal{M}|^2\rangle$ de $s$ , $t$ y $u$ que implican $\omega_L$ y $\omega_L'$ . \begin{equation*} \langle|\mathcal{M}|^2\rangle= 2e^4\left( \frac{\omega_L}{\omega_L'}+\frac{\omega_L'}{\omega_L} +\left(\frac{m}{\omega_L}-\frac{m}{\omega_L'}+1\right)^2-1 \right) \end{equation*}
A partir de la fórmula de Compton \begin{equation*} \frac{1}{\omega_L'}-\frac{1}{\omega_L}=\frac{1-\cos\theta_L}{m} \end{equation*}
tenemos \begin{equation*} \cos\theta_L=\frac{m}{\omega_L}-\frac{m}{\omega_L'}+1 \end{equation*}
Por lo tanto \begin{equation*} \langle|\mathcal{M}|^2\rangle= 2e^4\left( \frac{\omega_L}{\omega_L'}+\frac{\omega_L'}{\omega_L}+\cos^2\theta_L-1 \right) \end{equation*}
La sección transversal diferencial para la dispersión Compton es \begin{equation*} \frac{d\sigma}{d\Omega}\propto \left(\frac{\omega_L'}{\omega_L}\right)^2\langle|\mathcal{M}|^2\rangle \end{equation*}
Establecer $\omega_L=\omega_L'$ para obtener la sección transversal de dispersión Thomson
\begin{equation*} \frac{d\sigma}{d\Omega}\propto (1+\cos^2\theta_L) \end{equation*}
Consulte el siguiente enlace para una derivación completa de $\langle|\mathcal{M}|^2\rangle$ en el marco del centro de masa.
