Momento cristalino y potencial vectorial

Question

Me di cuenta de que el Efecto Aharonov-Bohm describe un factor de fase dado por $e^{\frac{i}{\hbar}\int_{\partial\gamma}q A_\mu dx^\mu}$ . También reconozco que los electrones en un potencial periódico ganan un factor de fase dado por $e^{\frac{i}{\hbar}k_ix^i}=e^{\frac{i}{\hbar}\int k_idx^i}$ . Recuerdo que $k_i$ desempeña un papel análogo al del momento en la física del estado sólido. También recuerdo que el operador de momento canónico es $P_\mu=-i\hbar\partial_\mu-qA_\mu$ . Observa que cuando operas con el operador de momento sobre un electrón de Bloch, $\psi(x)=u(x)e^{\frac{i}{\hbar}k_ix^i}$ se obtiene $e^{\frac{i}{\hbar}k_ix^i}(-i\hbar\partial_i+k_i)u(x)$ .

Mi pregunta es si se puede establecer un paralelismo entre el impulso del cristal, $k$ y el potencial vectorial $A$ . Parece que desempeñan un papel similar en mecánica cuántica, pero nunca he visto el teorema de Bloch descrito en términos de potenciales vectoriales. Supongo que ni siquiera se necesita un potencial vectorial no trivial para que se cumpla el teorema de Bloch. Aún así, el momento cristalino y el potencial vectorial desempeñan papeles muy similares en los factores de fase y me pregunto si hay algún significado más profundo en ello.

Answer 1

Dado que el momento cristalino y el potencial vectorial aparecen juntos, la introducción del potencial vectorial cambia la cantidad conservada de sólo momento cristalino a momento cristalino + momento electromagnético.

Answer 2

En efecto, existe una similitud entre el operador para el momento cinético en presencia de un potencial vectorial y el operador similar al operador de momento que actúa sobre las funciones de Bloch: los operadores de energía cinética construidos a partir de tomar el cuadrado de cada uno de los dos tienen partes imaginarias antisimétricas. Así pues, los operadores cinéticos siguen siendo hermitianos, pero conducen a funciones de onda y de Bloch complejas, respectivamente, que generalmente no pueden elegirse como reales.

Sin embargo, en este punto hay que señalar diferencias muy importantes. Tomemos un sistema de una sola partícula con simetría tiempo-reversa: en este caso los estados con momento cristalino $+k$ y $-k$ son degenerados. Por combinación lineal de los estados $u_{\pm k}(x)\cdot\exp(i\cdot(\pm k)\cdot x)$ se pueden construir funciones de onda reales (como ocurre siempre con los sistemas de una sola partícula con simetría de inversión temporal).

La presencia del potencial vectorial, por otra parte, significa generalmente que se rompe la simetría tiempo-reversa, y las funciones de onda no pueden elegirse reales.

Hablando laxamente, los términos imaginarios en el operador de energía cinética en presencia de un potencial vectorial tienen implicaciones físicas (añadir términos imaginarios a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo $\Rightarrow$ se rompe la simetría tiempo-reversión). Los términos imaginarios del operador cinético actuando sólo en la parte de Bloch de las funciones de onda son "simplemente" el resultado de elegir descomponer las funciones de onda de esta manera para aprovechar la simetría traslacional en la resolución de la ecuación de Schrödinger.

Answer 3

Aunque todas las afirmaciones que has hecho sobre el momento cristalino sólo se aplican exactamente para estados Bloch en los que el operador de momento es diagonal, el hecho de que la fase debida al potencial vectorial sea $e^{i \int A}$ es cierto para todos los estados en el espacio de Hilbert de una partícula cargada.
Esto es, por supuesto, una manifestación del hecho de que el momento y un campo EM son físicamente muy diferentes y cualquier analogía que se quiera establecer no irá muy lejos.

Answer 4

Así como V es la energía potencial, $\vec{A}$ es el momento potencial. Esto también es cierto en un cristal.