¿Por qué la hipotenusa difiere en uno del lado no primo?

Question

He buscado en el sitio rápidamente y no he encontrado este problema exacto. Me he dado cuenta de que un triple pitagórico (a,b,c) donde c es la hipotenusa y a es primo, es siempre de la forma (a,b,b+1) : La hipotenusa es uno más que el lado no primo. ¿Por qué es así?

Answer 1

No necesitas las fórmulas para generar triples pitagóricos. Si tienes $a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)$ con $a$ primo, la única manera de factorizar $a^2$ con factores distintos es $a^2 \cdot 1$ Así que $c-b=1, c+b=a^2$

Añadido: esto muestra cómo encontrar todos los triángulos con un lado de $a$ primo o no. Usted factoriza $a^2$ en factores diferentes y de la misma paridad. El requisito de la misma paridad viene del hecho de que se necesita $b$ et $c$ sean números enteros. Por lo tanto, si $a=12$ podemos escribir $144= 2 \cdot 72, 4\cdot 36, 6\cdot 24, 8 \cdot 18$ pero no podemos escribir $144=1 \cdot 144, 9\cdot 16, 12 \cdot 12$ . Obtenemos entonces triángulos $(12,35,37),(12,16,20),(12,5,13)$

Answer 2

La única posibilidad es, con enteros positivos $r > s,$ $$ a = r^2 - s^2, $$ $$ b = 2rs, $$ $$ c = r^2 + s^2. $$

Para tener $a= (r-s)(r+s)$ primo, debemos tener $(r-s) = 1,$ o $$ r=s+1. $$ Así que, de hecho, tenemos $$ a = 2s+1, $$ $$ b = 2s^2 + 2 s, $$ $$ c = 2s^2 + 2 s + 1. $$

Ya está.

Answer 3

Todos los triples pitagóricos son de la forma $k(p^2-q^2), 2kpq, k(p^2+q^2)$ donde $p$ et $q$ son positivos, relativamente primos y de paridad opuesta. Dado que $a$ debe ser primo, debe ser $k(p^2-q^2)$ no $2kpq$ Esto obliga a $p^2-q^2=1$ lo cual es imposible, o $k=1$ et $p^2-q^2$ es un primo. Entonces el triángulo es de la forma $$a=p^2-q^2,\quad b=2pq,\quad c=p^2+q^2.$$ Pero entonces $$a = p^2-q^2 = (p-q)(p+q),$$ de modo que como $a$ es primo debemos tener $p-q=1$ . Pero entonces $$c-b = p^2 + q^2 - 2pq = (p-q)^2 = 1.$$

Answer 4

Después de leer las magníficas respuestas, sólo quería añadir una regla fácil de seguir que hace posible construir un triple pitagórico $(a,b,b+1$ ) a partir de cualquier número impar $a \gt 3$ como sigue:

$a$ es el número impar original

$b=\frac{a^2-1}{2}$

$c=b+1$

Como eso funciona para cualquier número impar mayor que $3$ los números primos mayores que $3$ también pueden encontrarse en un triplete de esa forma.

Answer 5

El subconjunto de triples donde el GCD de A,B,C es un cuadrado impar y donde $C-B=(2n-1)^2$ también es un grupo de conjuntos distintos de triples, como se muestra a continuación.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|} \text{$Set_n$}& \text{$Triple_1$} & \text{$Triple_2$} & \text{$Triple_3$} & \text{$Triple_4$}\\ \hline \text{$Set_1$} & 3,4,5 & 5,12,13& 7,24,25& 9,40,41\\ \hline \text{$Set_2$} & 15,8,17 & 21,20,29 &27,36,45 &33,56,65\\ \hline \text{$Set_3$} & 35,12,37 & 45,28,53 &55,48,73 &65,72,97 \\ \hline \text{$Set_{25}$} &2499,100,2501 &2597,204,2605 &2695,312,2713 &2793,424,2825\\ \hline \end{array}$$

Normalmente, el área de triples se genera mediante la fórmula de Euclides, donde $$A=m^2-n^2\quad B=2mn\quad C=m^2+n^2$$ Podemos obtener el subconjunto si, en lugar de utilizar $(m,n)$ utilizamos $(2-1+n,n)$ que se amplía a

$$A=(2m-1)^2+2(2m-1)n\qquad B=2(2m-1)+2n^2\qquad C=(2m-1)^2+2(2m-1)n+2n^2$$

$Set_1$ contiene $only$ primitivas y $only$ en $Set_1$ hace $C-B=1$

Si dejamos que $m=1 (Set_1)$ la fórmula se reduce a $A=2n+1\quad B=2n^2+2n\quad C=2n^2+2n+1$

Podemos ver por inspección que la diferencia entre $B$ et $C$ es siempre $1$ .