Sea $\emptyset ≠A⊆F$ . $\exists \max(A) \implies \exists \sup(A)$ et $\sup(A)=\max(A)$ .

Question

Sea $AF$ . Demostrar que si $\max(A)$ existe, entonces $\sup(A)$ existe y $\sup(A)=\max(A)$ .

¿Cómo puedo demostrar tal afirmación?

Answer 1

El supremum debe existir, y en este caso tener un máximo implica que el conjunto está acotado por arriba, por lo que el supremum es finito. Supongamos por contradicción que el max y el sup son diferentes. Entonces debe darse el caso de que $\sup(A)>\max(A)$ desde $\max(A)\in A$ . ¿Puedes deducir una contradicción?

Answer 2

Esto es bastante sencillo, si se recuerdan las definiciones de sumo de un conjunto parcialmente ordenado y de máximo. La condición de que $F$ está parcialmente ordenada es importante en estas definiciones. Específicamente:

Maximal(Máximo) : Sea $(F,\leq)$ sea un conjunto parcialmente ordenado y $A\subseteq F$ . Entonces $m\in A$ es un elemento maximal de $A$ si $\forall a\in A$ es : $m \leq a \implies m = a$ .

Supremum : Un límite superior $b$ de un conjunto parcialmente ordenado $(F,\leq)$ se llamará supremum de $A$ si para todos los límites superiores $u_b$ de $A$ en $F$ , $u_b \geq b$ .

Ahora bien, puesto que $\max(A)$ existe, eso significa que existe $m \in A$ tal que para todo $a \in A$ es $$m \leq a \implies m=a \qquad (1)$$

Supongamos que es $\max(A) \neq \sup(A)$ . Desde $\max(A) \in A$ y para todos los límites superiores $u_b$ de $A$ tenemos $u_b \geq b$ , debería ser $\sup(A) > \max(A)$ . Pero hemos llegado a una contradicción, ya que $(1)$ retenciones. Así pues, $\max(A) = \sup(A)$ .