Biyecciones entre distintas ramas de la inversa de un polinomio de una sola variable compleja

Question

Sea $F\left(z\right)$ sea un polinomio de grado $d2$ con coeficientes complejos. Sea $D$ sea un disco abierto en el plano complejo que no contiene puntos críticos de $F\left(z\right)$ .

Sea $f\left(z\right)$ denotan la inversa de $F\left(z\right)$ ya que $F\left(z\right)$ no es uno a uno, $f\left(z\right)$ es una función multivaluada con d ramas distintas: $f_{1}\left(z\right),f_{2}\left(z\right),...,f_{d}\left(z\right)$ . Sea $m,n$ dos números enteros distintos del conjunto $\left\{ 1,2,...,d\right\}$

Entonces, ¿existe necesariamente una función

$T_{m,n}\left(z\right)=a_{m,n}z+b_{m,n}$

(con las constantes $a_{m,n}$ et $b_{m,n}$ siendo números complejos a determinar) tales que:

$T_{m,n}\left(f_{m}\left(z\right)\right)=f_{n}\left(z\right),\textrm{ }\forall z\in D$

Esta pequeña cuestión ha sido una espina en mi investigación. Me gustaría pensar que es cierto.

Ejemplo: Sea $F\left(z\right)=\left(\frac{z}{2}-i\right)^{3}-1$ .

$F$ tiene tres inversos:

$f_{m}\left(z\right)=2i+2\omega^{m-1}\left(z+1\right)^{1/3}$

donde $\omega=e^{\frac{2\pi i}{3}}$ y $m=1,2,3$ .

Estos inversos están relacionados entre sí por la función lineal:

$T_{m,n}\left(z\right)=2i+\omega^{m-n}\left(z-2i\right)$

¿Alguna opinión sobre si esto es cierto o no? ¿Y cómo se puede demostrar?

Answer 1

No es cierto para los cúbicos en general. Prueba $$ F(X) = X^3 + c_2 X^2 + c_1 X + c_0$$ Las raíces de $F(X) - z$ son $f_1, f_2, f_3$ con $$ \eqalign{f_1 + f_2 + f_3 &= -c_2\cr f_1 f_2 + f_1 f_3 + f_2 f_3 &= c_1\cr f_1 f_2 f_3 &= -c_0 - z\cr} $$ Obsérvese que las dos primeras ecuaciones no implican $z$ . Podemos eliminar $f_3$ a partir de las dos primeras ecuaciones, obteniendo $$ f_1^2 + f_1 f_2 + f_2^2 + c_2 (f_1 + f_2) + c_1 = 0$$ Pero a menos que esto se factorice en factores lineales, no se puede tener una ecuación de la forma $f_2 = a f_1 + b$ . Resulta que elegiste uno de esos factores.