integral indefinida de $x^n\sin(x)$

Question

En la escuela acabamos de empezar con la integración por partes. Teníamos ejemplos como $x\sin(x)\,dx$ o $x^2\sin(x)\,dx$ Me pregunté si es posible integrar términos como $x^{25}\sin(x)\,dx$ sin hacer integración por partes 25 veces. No puedo decir cómo lo hice exactamente, pero integré algunos términos explícitos y creé esto: $$\int x^n\sin x\,dx=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^{k+1}x^{n-2k}{n!\over(n-2k)!}\cos x+\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}(-1)^kx^{n-2k-1}{n!\over(n-2k-1)!}\sin x$$

con $n\in \Bbb N$ .

Lo he probado varias veces y creo que es correcto, pero no tengo ni idea de cómo probarlo. ¿Cómo puedo hacerlo?

Answer 1

¿Qué te parece $$\begin{eqnarray} c_n &=& a_n + i b_n = \int dx \ x^n e^{i x} = \int dx \ x^n \sin x + i \int dx \ x^n \cos x \\ &=& - i\int dx \ \left[\frac{d}{dx}\left(x^n e^{i x}\right) - n x^{n-1} e^{i x}\right] \\ &=& - i \left(x^n e^{i x} - n c_{n - 1}\right) \end{eqnarray}$$ donde $a_n = {\mathcal{Re}} \left(c_n\right)$ , $b_n = {\mathcal{Im}} \left(c_n\right)$ y se añade un término constante por cada $c_n$ . Es de suponer que podrías expresarlo en términos de una suma que, con suerte, concordaría con tu resultado.