$s= \sigma + it$ es cualquier número complejo con parte real $> 0$ .
Esto surgió porque $L(s,\chi) = \zeta(s)\prod_{p | q} (1-p^{-s})$ y tengo un límite para zeta que quiero cambiar por un límite para $L$ donde $\chi$ es el carácter principal mod $q$ .
Sea $q$ sea libre de cuadrados, entonces $$\prod_{p | q} (1-p^{-s}) < d(q)$$ para todos $s > 0$ .
$d$ es el número de divisores de $q$ .
He intentado hacer 1/ a ambos lados y luego cambiar el producto a suma $\sum_{n\text{ is a product of primes in }q} n^{-s} > 1/d(q)$ pero esto hace que la desigualdad parezca trivial porque el LHS es $> 1$ . Debo de haber entendido algo mal. Gracias por cualquier sugerencia.
Estoy intentando conseguir este teorema: $$\left| L(s,\chi_0) - \frac{s}{s-1}\prod_{p|q}(1-p^{-s})\right| \le d(q)\frac{|s|}{\Re(s)}$$ a partir del límite de la función zeta $$\left| \zeta(s) - \frac{s}{s-1} \right| \le \frac{|s|}{\Re(s)}$$ si eso ayuda a aclararlo.
Como he dicho ya he mostrado $L(s,\chi) = \zeta(s)\prod_{p | q} (1-p^{-s})$ , muestra multiplicar a ambos lados la desigualdad zeta por $\prod_{p | q} (1-p^{-s})$ y obtenemos $$\left| L(s,\chi_0) - \frac{s}{s-1}\prod_{p|q}(1-p^{-s})\right| \le \left[ \prod_{p | q} (1-p^{-s}) \right]\frac{|s|}{\Re(s)}$$ por lo tanto, si puedo mostrar $$\prod_{p | q} (1-p^{-s}) \le d(q)$$ Me sale el teorema.
