Dados dos espacios de Hilbert, demuestre que el operador compuesto de un operador lineal acotado es invertible

Question

La pregunta de tarea que estoy tratando de resolver es la siguiente, hay muchas partes, pero a continuación es un resumen de los que estoy luchando con:

Sea $X, Y$ sean dos espacios de Hilbert. Demostrar que si un operador lineal acotado $T : X Y$ es suryectivo entonces el operador compuesto $T T^* : Y Y$ es invertible, en la que $T^*$ denota el operador Hilbert-adjunto a $T$

El principal problema que tengo es encontrar la manera de empezar esta prueba. No estoy seguro de cómo relacionar el hecho de que el operador lineal sea suryectivo con que el compuesto sea invertible. ¿Hay algún teorema conocido o alguna sugerencia para abordar esta demostración? Gracias

Answer 1

Supongamos que $TT^*y = 0$ . Entonces $$ 0 = \langle y,TT^*y \rangle_Y = \langle T^*y,T^*y \rangle_X = \|T^*y\|_X^2$$ para que $T^*y = 0$ también. Desde $T$ es en existe $x \in X$ con $y = Tx$ . De manera similar, deduzca $$\|y\|_Y^2 = \langle y,y\rangle_Y = \langle y,Tx \rangle_Y = \langle T^*y,x \rangle_X = 0$$ para que $y = 0$ . Así $TT^*$ es uno a uno.