¿Cómo se deduce la conjetura de Haldane de la topológica $\Theta$ plazo

Question

Se sabe que la cadena de espín cuántico unidimensional SU(2) de Heisenberg está descrita por la no lineal 1+1d O(3) $\sigma$ con un modelo $\Theta$ plazo, tras la acción $$S=\int\mathrm{d}^2x\frac{1}{g}(\partial_\mu n)^2+\frac{i\Theta}{8\pi}\epsilon_{\mu\nu}\epsilon_{abc}n_a\partial_\mu n_b\partial_\nu n_c,$$ donde $\Theta=2\pi s$ está relacionado con el espín $s$ en cada sitio. Por otra parte, Haldane conjeturó que la cadena de espín entero está vacía, mientras que la cadena de espín semi-integra no lo está (¿o está degenerada?).

Mi pregunta es cómo entender la conjetura basada en la topológica $\Theta$ ¿término? O explícitamente, ¿cómo calcular la degeneración del estado fundamental y el espectro de baja energía a partir de la acción dada anteriormente? ¿Es siquiera posible escribir las funciones de onda del estado fundamental para la teoría topológica de campos? ¿Existe una forma sistemática de analizar el espectro de baja energía de una teoría de campos topológicos en general?

Answer 1

Es una buena pregunta y no creo que haya una forma sencilla de verlo desde la acción. Acabo de consultar a Fradkin (sección 7.7 y 7.8) y mediante un análisis RG demuestra que cualquier espín medio entero se comporta igual que el espín-. $\frac{1}{2}$ caso. Pero para este último caso se remite a la solución exacta del ansatz de Bethe para demostrar que ¡no tiene lagunas!

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Sin embargo, quería llamar su atención sobre un resultado muy bonito que parece bastante infravalorado:

El teorema ``proyectivo es gapless'':

Si tiene una cadena de giro que

• es invariante de traslación para una celda unitaria, y
• es simétrica para una representación proyectiva en la celda unidad,

entonces es sin ranura o rompe ¡una de las simetrías anteriores!

Es evidente que la cadena de espín de Heisenberg medio entero satisface las condiciones anteriores, por lo que podemos concluir que o bien no tiene hueco o bien rompe una de sus simetrías. Además, puesto que $SU(2)$ es continua, romperla implicaría que no hay huecos (o se podría argumentar que no se puede romper en absoluto debido a Coleman-Mermin-Wagner, pero aquí no es necesaria una afirmación tan contundente), por lo que podemos concluir: o bien la cadena de espín de Heisenberg semientero no tiene hueco o bien rompe espontáneamente la simetría de traslación . Eso no demuestra que no haya huecos, pero se acerca bastante.

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El primer ejemplo del teorema anterior se debe a Lieb, Schultz y Mattis (como señaló Schuch), sin embargo, la afirmación anterior es bastante más general, pero lo mejor de todo es que la demostración es increíblemente sencilla, ¡una vez que te familiarizas con los estados de los productos matriciales! Voy a dar un breve resumen de cómo llegar a ella, a partir de cero (tenga en cuenta que mediante el colapso de la celda unitaria podemos limitar al caso en que la celda unitaria es un sitio):

1. El estado básico de cualquier cadena de espín con hueco puede escribirse como un cierto tensor, llamado Estado Producto Matricial (EPM)
2. Para demostrar el teorema, vamos a suponer que nuestro estado fundamental es gapped, invariante de traslación y tiene esta simetría proyectiva. De aquí se deduce una contradicción. La suposición significa que nuestro estado fundamental está descrito por un MPS invariante de traslación.
3. Hecho para cualquier MPS invariante de traslación con un grupo de simetría in situ $G$ : si se aplica la operación de simetría en un solo sitio, entonces equivale a realizar una determinada operación $U$ en el enredo que tiene ese sitio con todo lo que tiene a su izquierda y una operación $U^\dagger$ en el enredo con todo a su derecha. Este $U$ es una representación (posiblemente proyectiva) de $G$
4. Así que actuar $G$ es lo mismo que actuar $U$ y $U^\dagger$ al mismo tiempo, pero mientras que $U$ puede ser proyectiva, realizar ambas a la vez debe ser una representación lineal (piense en cómo $\frac{1}{2} \otimes \frac{1}{2} = 0 \oplus 1$ )
5. Conclusión: esto significa que la simetría in situ debe ser lineal, pero por suposición es proyectiva. Contradicción. Por lo tanto, una de las suposiciones del paso 2 debe ser errónea :)

Referencia: Creo Schuch, Pérez-García, Cirac y Chen, Gu, Wen fueron los primeros en observar este

EDIT: Recientemente me he enterado de que este teorema "proyectivo no tiene huecos" ya fue demostrado en 2001 por Matsui ¡!