Puesto que un $n$ -puede identificarse con un subconjunto de $\Bbb R^m$ para algunos $m \ge n$ en efecto, siempre se puede considerar que los espacios de estados son un subconjunto de este tipo. Pero esto plantea algunos problemas.
En primer lugar $m$ normalmente tiene que ser mayor que $n$ lo que significa que acabas con variables extra necesarias para representar tu estado, y te ves forzado a tratar con las fórmulas necesarias para expresar los valores de esas variables extra en términos de un subconjunto de tamaño $n$ que se dejan vagar libremente. Por ejemplo, si tu espacio de estados resulta ser una esfera, entonces hay dos grados de libertad para que tu estado cambie. Pero no puedes tener una esfera en $\Bbb R^2$ . Como mínimo, tiene que estar en $\Bbb R^3$ y tienes tres variables, $x, y, z$ y una relación adicional entre ellos: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ .
Por supuesto, en este ejemplo concreto, se podrían utilizar coordenadas esféricas $\rho, \theta, \phi$ donde la relación adicional es trivial, $\rho = 1$ así que ignora $\rho$ y considerar únicamente las variables $\theta, \phi$ . Pero si necesita diferenciar, hay un problema - la mayoría de los lugares están bien, pero no en $\phi = 0$ o $\phi = \pi$ . El sistema de coordenadas es singular en estos puntos, aunque la esfera en sí no lo sea. Tienes que cambiar a un sistema de coordenadas diferente para diferenciar aquí. --- Y al hacerlo, ya no estás trabajando con un subconjunto de la esfera. $\Bbb R^n$ sino con una variedad riemanniana.
El cambio de sistemas de coordenadas trae un montón de mecánica - transformaciones, y cómo esas transformaciones afectan a los vectores tangentes y transformaciones lineales de esos vectores y la diferenciación y la integración. Cuando se sigue de esta manera, hay mucho que tener en cuenta. Esta es la razón por la que se inventaron las variedades: para proporcionar un marco general para expresar este tipo de construcciones y demostrar resultados generales sobre ellas en lugar de tener que demostrarlos una y otra vez para cada caso específico. Estudiar qué es posible y por qué, y qué no es posible y por qué. Para acumular experiencia e intuición en estas situaciones.
Los espacios de estados suelen tener propiedades que los convierten en colectores. Puedes moverte entre estados cercanos ajustando los valores de un número finito $n$ de los parámetros. Muy a menudo, existe un conjunto de parámetros capaz de representar sin problemas todos los estados posibles. Cuando esto ocurre, el espacio de estados no es más que un subconjunto abierto de $\Bbb R^n$ y eso es todo lo que necesitas. Pero hay espacios de estados ocasionales en los que ningún conjunto de parámetros es capaz de representar todos los estados posibles. Si sigues un camino a través del espacio de estados, en algún momento tendrás que cambiar de un conjunto de parámetros a otro. Estos espacios de estados son, por naturaleza, múltiples. Los distintos conjuntos de parámetros son diferentes sistemas de coordenadas (también conocidos como "gráficos"), y cuando los unes, eso es exactamente lo que es un colector. También suele haber una forma de expresar la distancia en este espacio de estados, que es lo que hace que el colector sea "riemanniano" (llamado así por el gran matemático Bernhard Riemann).
Si insistes en poner este colector dentro $\Bbb R^m$ Entonces ya no sólo se estudia el espacio de estados (propiedades intrínsecas), sino también la forma en que ese espacio de estados se introdujo ("incrustó", es el término artístico) en $\Bbb R^m$ (propiedades extrínsecas). En realidad, es bastante difícil separar las propiedades del espacio de estados de las de la incrustación. Por ejemplo, he tenido más de una conversación sobre por qué el círculo no tiene curvatura. (El concepto intrínseco de curvatura requiere dos dimensiones, pero el círculo es unidimensional. La curvatura que se ve en el círculo no es una propiedad intrínseca, sino extrínseca, impuesta por su incrustación en el plano).
Así pues, si se quieren estudiar los espacios de estados en general, sin captar propiedades que en realidad les son ajenas, hay que pensar en ellos como colectores: superficies que pueden ondularse o girar sobre sí mismas, o incluso retorcerse como en una banda de Moebius; y sus homólogos de dimensión superior.
