Utilización del principio máximo de las funciones subarmónicas para demostrar un ejercicio sobre funciones subarmónicas

Question

Supongamos que $f\in C(\bar{U})$ y $g\in C(\partial U)$ y que $u\in C^2(U)\cap C(\bar{U})$ satisface $$\begin{cases} -\Delta u &= f \ \ \text{in} \ U\\ u &= g \ \ \text{on} \ \partial U\\ \end{cases}$$ Demuestre que existe una constante $C$ que sólo depende de la región $U$ tal que $$\max_{x\in \bar{U}}|u(x)|\leq C\left(\max_{x\in \partial U}|g(x)| + \max_{x\in \bar{U}}|f(x)| \right)$$

Intento de prueba - Let $\lambda = \max_{x\in \bar{U}}|f(x)|$ y defina $v(x) := u(x) + \frac{\lambda}{2N}|x|^2$ . Tenemos $$-\Delta = f - \lambda = f - \max_{x\in \bar{U}}|f| \leq 0$$

Antes de continuar quiero mencionar que mi profesor nos planteó este problema pero no entiendo esa parte en la que $-\Delta v = f - \lambda$ Entiendo dónde está el $f$ entra pero no el $\lambda$ parece que el $\frac{1}{2N}|x|^2$ término desaparecido. ¿Ocurre que se convierte donde tomamos la derivada parcial con respecto a $x$ dos veces sólo nos queda $\frac{1}{N}$ que no es más que una constante por lo que la ignoramos? Una vez que entienda esta parte publicaré otro intento de prueba para rematarlo.

Answer 1

Calculamos $$-\Delta v = -\Delta u - \frac{\lambda}{2N}\Delta(|x|^2) = f - \frac{\lambda}{2N}\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial^2|x|^2}{\partial x_i^2}=f - \frac{\lambda}{2N}\sum_{i=1}^{N}2=f-\lambda,$$ la penúltima igualdad proviene del hecho de que $|x|^2 = \sum_{i=1}^{N}x_i^2$ y así $\partial_i(|x|^2)=2x_i$ y $\partial_{ii}(|x|^2)=2.$ Espero que esto aclare su confusión.