Me han enseñado en el colegio y en Wikipedia pone que el rango de arctan es $[ -\frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} ]$ .
¿Por qué no es $[0,\pi]$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Como la gráfica de la función $\,\tan x\,$ espectáculo, este es un muy no $\,1-1\,$ sobre los reales, al igual que se hace con $\,\sin x\,,\,\cos x\,$ limitamos su alcance para obtener un $\,1-1\,$ en una función y, por tanto, invertible. Como el período de $\,\tan x\,$ es $\,\pi\,$ podemos tomar cualquier intervalo de longitud $\,\pi\,$ para hacer esto... pero ...si el intervalo contiene un punto de la forma $\,\displaystyle{x=\frac{(2n+1)\pi}{2}}\,n\in\mathbb{Z}$ vamos a tener un feo asíntota vertical ahí, así que elegimos un intervalo de la forma $$\left(\frac{(2n-1)\pi}{2}\,,\,\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)\,\,,\,n\in\mathbb{Z}$$ con $\,n=0\,$ siendo habitual.
Michael Hardy
Puntos
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Es más sencillo porque hace que la función sea continua. En cierto sentido, arctan es una "función de valores múltiples" (pero las definiciones modernas predominantes de función consideran tales cosas como algo distinto de funciones). Es decir, hay más de un número cuya tangente es $x$ . Entonces, ¿a cuál llamas $\arctan x$ ? La respuesta es, en cierto sentido: la más sencilla.
Dibuja un triángulo rectángulo con los lados convenientemente etiquetados como "adj", "opp" e "hyp". Recordemos que tan = opp/adj. Sea adj = 1, de modo que tan = opp. Cuando opp sube a $\infty$ Observa lo que le ocurre al ángulo: lo ves subir hasta un ángulo recto, es decir, hasta $\pi/2$ . Ahora mira lo que pasa cuando "opp" se vuelve negativo, y luego baja a $-\infty$ y mira el ángulo que baja a $-\pi/2$ .
Haz los dibujos con cuidado y verás lo que quiero decir.
