Si una bola unitaria es compacta, ¿por qué una bola de radio 5 tiene que serlo también?

Question

Entonces, si utilizo la definición de compacidad de que toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita, como la bola unitaria es compacta, existe una subcubierta finita. Pero si aumento el radio de la bola, ¿por qué tiene que seguir siendo compacta? Intuitivamente hablando, ¿no puedo simplemente tomar conjuntos abiertos de tamaño muy pequeño y de número grande de tal manera que no exista una subcubierta finita? Sé que la respuesta a esta pregunta es no, pero no veo por qué.

¿Puede alguien arrojar algo de luz?

Answer 1

Tome su cubierta abierta de una bola de radio 5. Encógela por un factor de 5. Es una cubierta abierta de la bola de radio 1. Por lo tanto tiene una subcubierta finita. Ahora reflate la subcubierta por un factor de 5. ¡Et Voila! Cubre la bola de radio 5.

Answer 2

La escala estrictamente positiva es un homeomorfismo sobre bolas cerradas. Así que o ninguna es compacta o todas.

Answer 3

Si $B_5(x_0)$ es una bola cerrada con centro $x_0$ y radio 5 en un espacio de Banach, entonces $f(x):=5x+x_0$ mapea la bola unitaria de forma continua en $B_5(x_0)$ . Si la bola unitaria es compacta, entonces también lo es $B_5(x_0)$ (como imagen de un conjunto compacto bajo una función continua).

Answer 4

Dada una cubierta abierta de la bola cerrada de radio 5, redúzcala en un factor de $\frac15$ . Se obtiene una cubierta abierta de la bola unitaria cerrada. Por la compacidad de esa bola, se puede elegir una subcubierta finita. Esa subcubierta finita, escalada por un factor fo $5$ es una subcubierta finita de la cubierta abierta original de la bola de radio 5.

Answer 5

Si $\mathcal U_1 = \{ U \}$ es una cubierta abierta de la bola unitaria, entonces $\mathcal U_5 = \{ 5U \}$ es una cubierta abierta de la bola de radio $5$ donde $5U = \{ 5x : x \in U \}$ . Y viceversa de forma obvia.

Ahora sigue el resultado: cualquier cubierta abierta del $5$ -a una cubierta de la bola unidad, que tiene una subcubierta finita; a continuación, vuelva a mapear esa subcubierta finita a una subcubierta finita de la bola unidad. $5$ -bola de radio.