Desigualdad de la norma espectral

Question

Supongamos que tengo dos matrices A, B

$$ A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{m \times n} $$ Entonces, ¿en qué condiciones de A y B se cumple la siguiente inecuación? $$ ||A+B||_2 \geq ||A||_2 $$

Por alguna razón, creo que esto se mantendría cuando los espacios que abarcan las columnas de estas matrices son diferentes. Pero tal vez me equivoque, o no pueda articularlo matemáticamente.

Answer 1

Se equivoca. En particular, si tomamos $$ A = \pmatrix{1&100\\0&0}\\ B = \pmatrix{-1&-100\\1/100&1} $$ Comprueba que el espacio de columnas de las dos matrices es diferente, pero $\|A + B\| < \|A\|$ .