¿Cómo puedo demostrar que esto es cierto? $A(j+x+x^2+....+x^n)= A(j-x{^{n+1}})(j-x){^{-1}} $

Question

¿Cómo demuestro que lo siguiente es cierto?

$$ A(j+x+x^2+....+x^n)= A(j-x{^{n+1}})(j-x){^{-1}} $$

He intentado dividir ambos lados por $A$ y multiplicando por $(j-x)$ pero no estoy seguro de cómo proceder a partir de ahí porque el $j$ me está despistando. Normalmente es un ' $1$ '.

Answer 1

Las soluciones de la ecuación (que no dependen de $A$ porque su valor puede ser cualquiera), son: $j=1$ ,

$j=\frac{x(x^{n}-x)}{1-x} $ .

Verificación para $j=$ 1, lo damos por sentado.

Verificación para $j=\frac{x(x^{n}-x)}{1-x} $ :

$A(j+x+x^2+....+x^n)= A(j-x{^{n+1}})(j-x){^{-1}}$ ,

$A(\frac{x(x^{n}-x)}{1-x}+ x+x^2+....+x^n)=\frac{A(\frac{x(x^{n}-x)}{1-x}-x^{n+1})}{\frac{x(x^{n}-x)}{1-x}-x}$ ,

$A(\frac{x(x^{n}-x)}{1-x}+ \frac{x(x^{n}-1)}{x-1})=\frac{A(\frac{x^{2}(x^{n}-1)}{1-x})}{ -\frac{x(x^{n}-x)}{1-x}+x}$ ,

$Ax=Ax$ .

La afirmación es cierta si

$j=1$ ,

y

$j=\frac{x(x^{n}-x)}{1-x} $ .