Desigualdad con funciones trigonométricas

Question

Buscar todos los valores de $a$ tal que se cumpla la siguiente desigualdad:

$$\sin^6x + \cos^6x + a\sin x \cos x \ge 0$$

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Para ser justos, no conseguí nada útil con mis cálculos. Intenté cubicar la identidad trigonométrica básica $\sin^2x + \cos^2x = 1$ para obtener un sustituto de $\sin^6x + \cos^6x$ . También intenté comprobar los cuatro cuadrantes por separado, pero de nuevo no conseguí nada.

Answer 1

Basta con encontrar el valor mínimo de $$ f_a(x):=\cos^6x+\sin^6x+a\cos x\sin x $$ Tenemos \begin{eqnarray} f_a(x)&=&\cos^6x+\sin^6x+a\cos x\sin x\\ &=&(\cos^2x+\sin^2x)^3-3(\cos^4x\sin^2x+\cos^2x\sin^4x)+a\cos x\sin x\\ &=&1-3\cos^2x\sin^2x(\cos^2x+\sin^2x)+a\cos x\sin x\\ &=&1-3\cos^2\sin^2x+a\cos x\sin x\\ &=&1+\frac{a}{2}\sin(2x)-\frac{3}{4}\sin^2(2x)\\ &=&P_a(\sin(2x)), \end{eqnarray} donde $$ P_a(t)=1+\frac{a}{2}t-\frac{3}{4}t^2, t \in [-1,1] $$ De ello se deduce que \begin{eqnarray} \min_{x\in \mathbb{R}}f_a(x)&=&\min_{t\in [-1,1]}P_a(t)=\min P_a([-1,1])=\min\{\frac{1-2a}{4},\frac{1+2a}{4}\}\\ &=&\frac14\min\{1-2a,1+2a\}=\frac{1-2a+1+2a-|1-2a-(1+2a)|}{8}\\ &=&\frac{2-4|a|}{8}=\frac{1-2|a|}{4}. \end{eqnarray} Tenemos $$ f_a \ge 0 \iff \min f_a \ge 0 \iff 1-2|a|\ge 0 \iff |a|\le \frac12, $$ es decir $a \in [-1/2,1/2]$ .

Answer 2

$$\sin^6x+\cos^6x=\underbrace{(\sin^2x+\cos^2x)}_1\cdot\underbrace{(\sin^4x-\sin^2x\cos^2x+\cos^4x)}_{(\underbrace{\sin^2x+\cos^2x}_1)^2-3\sin^2x\cos^2x}=1-3t^2$$ $=>1+at-3t^2\geqslant0$ . ¿Puedes seguir tú? :-)