Si $ X / U(1) \cong Y / U(1)$ ¿Qué puedo decir sobre $X$ y $Y$ ? ¿Serán también isomorfos? Toma, $X$ , $Y$ son dos espacios topológicos y he elegido $U(1)$ la acción del círculo, pero podría ser cualquier otra cosa.
Respuesta
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Sea $X = S^2 \times S^1$ y $Y = S^3$ que no son homeomorfas entre sí. Cada uno de ellos tiene una acción libre por el grupo de círculos $U(1) = S^1$ cuyo cociente es homeomorfo a $S^2$ .
Para definir la acción sobre $X = S^2 \times S^1$ , dejemos que $S^1$ actúan trivialmente sobre el $S^2$ y que actúe por multiplicación por la izquierda sobre el factor $S^1$ factor.
Para definir la acción sobre $Y = S^3$ se utiliza la acción de Hopf, que puede describirse expresando $S^3$ como el grupo de los cuaterniones unitarios $w + ix + jy + kz$ expresando $S^1$ como el grupo de los números complejos unitarios $s + it$ y dejando $S^1$ actuar $S^3$ por multiplicación de cuaterniones a la izquierda.
Hay muchos más ejemplos de este tipo $S^1$ actuando libremente sobre 3manifolds no homeomorfos con superficies cocientes homeomorfas. Busque "espacios de fibra de Seifert".
