Dado $f(x,y,z)=xy^2z^2+x$ , demuestre por primeros principios que f es diferenciable en un punto arbitrario (a,b,c)....

Question

Dada f(x,y,z)= $xy^2z^2+x$ demostrar por primeros principios que f es diferenciable en un punto arbitrario (a,b,c). Es decir, adivinar la diferencial en ese punto y utilizar la definición para demostrar la diferenciabilidad.

Sé que para mostrar diferenciabilidad en un punto (a,b) debe mostrar que... $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h_1,b+h_2)-f(a,b)-df(a)}{||h||}=0$$

Así que yendo un paso más allá deberíamos conseguir...

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h_1,b+h_2,c+h_3)-f(a,b,c)-df(a,b,c)}{||h||}=0$$

$$\lim_{h \to 0} \frac{f((a+h_1)(b+h_2)^2(c+h_3)^2+(a+h_1))-(ab^2c^2+x)-(h_1+h_2+h_3)}{||h||} = 0$$

Que cuando h se acerca a cero creo que se convierte en.... $$\frac{f((a+0)(b+0)^2(c+0)^2+(a+0))-(ab^2c^2+a)-(0+0+0)}{||h||} = 0$$ $$\frac{ab^2c^2+a-(ab^2c^2+a)}{||h||} = 0$$ $$\frac{0}{||h||} = 0$$

$\therefore$ es diferencial en el punto arbitrario (a,b,c). Me confunden las otras partes, especialmente la parte de "adivinar".

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También creo que debo tener en cuenta las derivadas parciales

$$\left( \frac{Df}{Dx}, \frac{Df}{Dy}, \frac{Df}{Dz} \right) = \left( (y^2z^2+1), 2xyz^2, 2xy^2z \right)$$

Lo que significa que el diferencial es.... $$\begin{bmatrix} (y^2z^2+1)&2xyz^2&2xy^2z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h_1\\h_2\\h_3 \end{bmatrix} $$

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Answer 1

Adivinaste el aspecto del diferencial; llamémoslo \begin{equation*} Df_{(x,y,z)} = (y^2 z^2 + 1 , 2xyz^2 , 2xy^2z) \end{equation*}

Lo que hay que comprobar es la definición de diferenciabilidad, que para $n$ variables (es decir, para $f \colon \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ ) es la siguiente:

\begin{equation*} \lim_{||h||\rightarrow 0} \frac{|| f(a+h) - f(a) - Df_a(h) ||}{||h||} = 0 \end{equation*}

donde $a = (a_1,...,a_n)$ , $h = (h_1,...,h_n)$ y $Df_a$ es el diferencial en $a$ (si existe).

En su caso, debe demostrar que

\begin{equation*} \lim_{||h||\rightarrow 0} \frac{|| f(a+h_1,b+h_2,c+h_3) - f(a,b,c)) - Df_a · (h_1,h_2,h_3) ||}{||h||} = 0 \end{equation*}

Answer 2

¿Qué te parece esto para la parte de diferenciabilidad? $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h_1,b+h_2,c+h_3) - f(a,b,c) - Df(a,b,c)(h_1,h_2,h_3)}{||h||} = 0$$

En (0,0,0) $$\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h_1,0+h_2,0+h_3) - f(0,0,0) - Df(0,0,0)(h_1,h_2,h_3)}{||h||} = 0$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{f(h_1,h_2,h_3) - f(0^20^2+1,000^2,00^20)*(h_1,h_2,h_3)}{||h||} = 0$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{h_1h_2^2h_3^2+h1-(h_1)}{||h||} = 0$$ $$\lim_{h \to 0} \frac{h_1h_2^2h_3}{||h||} = 0$$

y creo que $||h|| = \sqrt{h_1+h_2+h_3} $

So....

$$\lim_{h \to 0} \frac{h_1h_2^2h_3^2}{\sqrt{h_1+h_2+h_3} } = 0$$

no estoy seguro de cómo proceder