Me gustaría demostrar que para una matriz cuadrada A con la propiedad de que existe un entero positivo n tal que $\dfrac{1}{n}A^n = \dfrac{1}{n+1}A^{n+1} = \dfrac{1}{n+2}A^{n+2}$ cualquier valor propio de A debe ser 0.
Procedo como sigue:
Sea $\lambda$ sea un valor propio de A, y $v$ sea un vector propio de A, tal que $v \neq 0$ .
Recuérdalo: $A^nv=\lambda^nv$ entonces como \begin{align} \dfrac{1}{n}A^n &=\dfrac{1}{n+1}A^{n+1} \\ \Rightarrow \dfrac{n+1}{n}A^nv-A^{n+1}v &=0 \\ \Rightarrow \lambda^n\left(\dfrac{n+1}{n}-\lambda\right)v &= 0 \\ \end{align} $\Rightarrow \lambda = 0$ o $\lambda = \dfrac{n+1}{n}$
Del mismo modo: \begin{align} \dfrac{1}{n+1}A^{n+1} &=\dfrac{1}{n+2}A^{n+2} \\ \Rightarrow \dfrac{n+2}{n+1}A^{n+1}v-A^{n+2}v &=0 \\ \Rightarrow \lambda^{n+1}\left(\dfrac{n+2}{n+1}-\lambda\right)v &= 0 \\ \end{align} $\Rightarrow \lambda = 0$ o $\lambda = \dfrac{n+2}{n+1}$
Mi conclusión es que ya que es matemáticamente imposible que $\lambda = \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{n+2}{n+1}$ el único valor propio de A debe ser 0.
¿Mi demostración es incompleta o incorrecta?
