Producto de exponentes de la facturización

Question

Deje $p(n)$ ser el producto de los exponentes de la factorización en primos de $n$. Por ejemplo, $$p(5184) = p(2^6 3^4) = 24 \;,$$ $$p(65536) = p(2^{16}) = 16 \;.$$ Definir $P(n)$ como el número de iteraciones de $p(\;)$ para reducir la $n$$1$. Por ejemplo, $P(5184) = 3$ porque $$p(5184)=24, \;p(24) = p(2^3 3^1) = 3, \;p(3)=1 \;;$$ y $P(65536)=4$ porque $$p(65536) = 16, \;p(16)=p(2^4)=4, \;p(4)=p(2^2)=2, \; p(2)=1 \;.$$ Por último, defina $m(k)$ a ser el valor mínimo de $n$ tal que $P(n) = k$.

¿Qué es $m(k)$?

Por ejemplo, $m(1)=2$$m(2)=4$$m(3)=16$. Es $m(k)$ siempre $2$ a algún poder?

La actualización. Calvin Lin mostró que $m(4)$ no es una potencia de $2$, y es en la mayoría de los $2^4 3^4$. De hecho lo he comprobado (de búsqueda) que $m(4)=1296$.

Answer 1

Jajaja Considerar el $m(4)$. Si es una potencia de 2, entonces debe ser al menos $2^{16}$. (Desde if es de la forma $2^n$, entonces el $ n$ necesita 3 iteraciones y tan $ n \geq m(3) = 16$.)

$p( 2^4 3^4) = 16$, Que $m(k) \leq 2^4 \times 3^4 < 2^{16}$.