$P\left(X\mid X_{(n)}\right)$ para $X$ siguiendo una distribución uniforme

Question

Digamos que tenemos $X \sim \text{uniform}\{1 ,\dots, T\}$ y denotamos $X_{(n)} = \max{\{X_1 , \dots , X_n\}}$ . Me gustaría encontrar la probabilidad condicional de $X$ condicionado a $X_{(n)}$ .

He aquí un intento de solucionarlo.

$$P(X = x \mid X_{(n)} = t) = \frac{P(X = x , X_{(n)} = t)}{P(X_{(n)} = t)}$$

Examinaremos tres casos en los que $x > t$ , $x = t$ , $x < t$ . En el primer caso nos damos cuenta: $P(X = x \mid X_{(n)} = t) = 0$ . En el segundo, toma WLOG la observación de $X$ ser el primero así que $X_1$ :

$$\frac{P(X_1 = t , X_{(n)} = t)}{P(X_{(n)} = t)} = \frac{P(X_1 = t)}{P(X_{(n)} = t)} = \frac{1/T}{(1/T)^n(t^n-(t-1)^n)}$$

En el tercero tenemos:

$$P(X_1 = x , X_{(n)} \leq t) = P(X_2 \leq t , \dots , X_n \leq t)P(X_1 = x) = \left(\frac{t}{T}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{T}\right)$$

Por lo tanto:

\begin{align}P(X_1 = x , X_{(n)} = t) &= P(X_1 = x , X_{(n)} \leq t) - P(X_1 = x , X_{(n)} \leq t-1)\\&= \left(\frac{1}{T}\right)^n\left(t^{n-1} - (t-1)^{n-1}\right)\end{align}

y así:

$$P(X_1 = x \mid X_{(n)} = t) = \frac{t^{n-1} - (t-1)^{n-1}}{t^{n} - (t-1)^{n}}$$

Sin embargo, no veo cómo $\sum_{x=1}^tP(X_1 = x \mid X_{(n)} = t) = 1$ .

Siento que cometí un error. ¿Podría darme alguna idea sobre el problema?

Answer 1

La segunda no es correcta: $P(X_1=t, X_{(n)}=t)\neq P(X_1=t)$ ya que también es necesario especificar que $X_2,\dots, X_n$ son menores o iguales que $t$ . Específicamente, $$P(X_1=t, X_{(n)}=t)=P(X_1=t)\cdot P(X_2\le t, \dots, X_n\le t)=t^{n-1}/T^n$$ Por lo tanto, $P(X_1=t\mid X_{(n)}=t)=\dfrac{t^{n-1}}{t^n-(t-1)^n}$ . Así que.., \begin{align}\sum_{x=1}^t P(X_1=t\mid X_{(n)}=t)&=(t-1)\cdot \frac{t^{n-1}-(t-1)^{n-1}}{t^n-(t-1)^n}+\frac{t^{n-1}}{t^n-(t-1)^n}\\&=\frac{t^n-t(t-1)^{n-1}-t^{n-1}+(t-1)^{n-1}+t^{n-1}}{t^n-(t-1)^n}\\&=\frac{t^n-(t-1)\cdot(t-1)^{n-1}}{t^n-(t-1)^n}=1\end{align}