Resolución de la ecuación de Poissons en 1D con transformadas de Fourier

Question

Así que en última instancia estoy tratando de resolver esto en 3 dimensiones, pero estoy luchando vergonzosamente con la solución 1-D en este momento.

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f(x) = \rho(x) $

Expreso f y en términos de sus transformadas de Fourier:

$f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}}dk$

y

$\rho(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}} dk$

Así que desde aquí traigo la derivada a la integral que es $f(x)$ y operar en el $e^{i \vec{k}\vec{x}}$ plazo:

$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} f(x) = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} -k^{2} f(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}}dk$

Ahora bien, ¿cómo me ayuda esto a resolver el problema en el espacio k?

Lo he hecho:

$\frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} -k^{2} f(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}}dk = \frac{1}{ \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(\vec{k})e^{i \vec{k}\vec{x}} dk$

Sé que tengo que llegar a:

$-k^{2}f(\vec{k}) = \rho(\vec{k})$

Pero, ¿por qué abandonar las integrales?

Answer 1

Sí, puedes simplemente abandonar las integrales porque la transformada de Fourier es única : si $\hat{f}=\hat{g}$ entonces $f=g$ (en casi todas partes). Para ver esto más claramente escriba su última ecuación como

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int[\rho(k) + k^2f(k)]e^{ikx} = 0$$

Ahora la transformada de Fourier de $0$ es simplemente $0$ así que por unicidad $\rho(k) + k^2f(k) = 0$ .

Una forma algo más sencilla de resolver su problema es utilizar la propiedad $\hat{\left(\frac{d^nf}{dx^n}\right)} = (ik)^n\hat{f}$ que da directamente el resultado deseado. Esta propiedad se demuestra fácilmente mediante integración por partes.