Un problema en un espacio de Hausdorff localmente compacto

Question

Intento resolver el siguiente problema.

Sea $X$ sean Hausdorff localmente compactas y $Y$ sea Hausdorff.

(a) Si $f: X \to Y$ es un mapa continuo y abierto, demuéstrese entonces que $f(X)$ es localmente compacta.

(b) Si $f: X \to Y$ es un mapa continuo y abierto, demuéstrese que para cualquier subconjunto compacto $K$ de $Y$ existe un subconjunto compacto $C$ de $X$ tal que $f(C)=K$ .

He resuelto (a), para (b) pensé que podría resolverlo directamente utilizando el hecho de que $f(f^{-1}(K))=K$ desde $f$ es onto y demostrar que $C=f^{-1}(K)$ es compacto en $X$ pero como se muestra en la imagen de abajo me he encontrado con un problema. Así que he pensado en utilizar el resultado en (a) pero mis esfuerzos han sido infructuosos hasta ahora. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Por cada $x\in f^{-1}(K)$ considera un barrio abierto $U_x$ de $x$ con cierre compacto. Entonces $f(U_x)$ está abierto y la familia $\{f(U_x):x\in f^{-1}(K)\}$ es una cubierta abierta de $K$ . Entonces $$ K\subseteq f(U_{x_1})\cup f(U_{x_2})\cup\dots\cup f(U_{x_n}) $$ para algunos $x_1,\dots,x_n\in f^{-1}(K)$ . Toma $$ C=(\overline{U_{x_1}}\cup \overline{U_{x_2}}\cup\dots\cup\overline{U_{x_n}})\cap f^{-1}(K) $$

Entonces $C$ es compacto y $f(C)\subseteq f(f^{-1}(K))=K$ . Si $y\in K$ entonces $y=f(x)$ con $x\in U_{x_i}$ para algunos $i$ , $1\le i\le n$ . Así que