Matrices no singulares con propiedad de traza

Question

Si $A,B\in M_{3}\Bbb{C}$ son matrices no singulares tales que $$A^2-\mbox{ tr }A(A)+A^*=B^2-\mbox{ tr }B(B)+B^*,$$ demostrar que $$A^*=B^*$$ sabemos que $$A^3-(\mbox{ tr }A)A^2+(\mbox{ tr adj}A)A+detA.I_3=0$$

Answer 1

Esto no es cierto. Sea $a=\frac12(1+\sqrt{5})$ et $b=\frac12(1-\sqrt{5})$ . Entonces la ecuación $$ X^2-\operatorname{tr}(X)X+X^\ast=\operatorname{diag}(1,1,0) $$ tiene dos soluciones no singulares $A=\operatorname{diag}(a,b,1)$ et $B=\operatorname{diag}(b,a,1)$ .