Sea $T$ sea un operador autoadjunto y $\langle T(w),w\rangle>0$ . Si $\operatorname{dim}(W) = k$ entonces $T$ tiene al menos $k$ valores propios positivos

Question

Qn: Sea T un espacio de producto interno complejo de dimensión finita, y T un operador lineal autoadjunto. Supongamos que existe un subespacio W de V tal que $\langle T(w),w \rangle$ es positivo para todos los valores distintos de cero $w$ . Si $\operatorname{dim}(W) = k$ demuestre que $T$ tiene al menos $k$ valores propios positivos (contando las multiplicidades algebraicas).

He aquí mi intento:

Sea $O$ sea una base ortonormal $O = \{v_1,\dots,v_n\}$ que están formados por los vectores propios de $T$ . Desde $T$ es autoadjunto, allí algunos de los valores propios son positivos y otros negativos. Supongamos que $\{\lambda_1,\dots,\lambda_m\}$ son valores propios positivos y $\{\lambda_{m+1},...,\lambda_n\}$ son valores propios no positivos.

Sea $U=\operatorname{span}\{v_{m+1},\dots,v_n\}$ . Entonces $$ \langle T(u), u \rangle = \langle u, T(u) \rangle= \lambda\langle u, u \rangle, $$ que es no negativo para todo $u \in U$ .

¿Implica esto que $W$ es un subconjunto de $U$ ? (Mi plan es demostrar demostrando algo sobre la dimensión pero estoy atascado).

Answer 1

Sea $\lambda_1\geq\ldots\geq\lambda_k\geq\ldots\geq\lambda_n$ sean los valores propios de una transformación lineal autoadjunta $T$ actuando sobre un $n-$ espacio vectorial dimensional $V$ .

Sea $\{v_1,\ldots,v_n\}$ sea una base ortonormal de $V$ formado por los vectores propios de $T$ asociado a $\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}$ .

Supongamos que $0\geq\lambda_k\geq\ldots\geq\lambda_n$ .

Sea $U=\text{span}\{v_{k},\ldots,v_n\}$ . Observe que $\dim(U)=n-k+1$ .

Sea $W$ sea tu subespacio. Desde $\dim(W)=k$ et $\dim(U)+\dim(W)>n$ entonces existe $0\neq v\in\dim(U\cap W)$ .

Así, $v=\sum_{i=k}^na_iv_i$ et $0<\langle T(v),v \rangle=\sum_{i=k}^n\lambda_i|a_i|^2\leq 0$ . Esto es una contradicción.

Por lo tanto, $\lambda_k>0$ y $\lambda_1\geq\ldots\geq\lambda_k>0$ .