La respuesta es no.
Alegación: Si $\mathfrak{DiffSt}$ fueran cocompletas, se reflejaría en $St\left(Mfd\right).$
Prueba:
Sea $i:Mfd \hookrightarrow \mathfrak{DiffSt}$ sea la inclusión completa y fiel de los colectores en apilamientos diferenciables. Tomemos la $(2,1)$ -categórica izquierda Kan extensión de $i$ a lo largo de la incrustación de Yoneda en presheaves (débiles) de groupoides $$Lan_y i:Fun(Mfd,Gpd) \to \mathfrak{DiffSt},$$ que existiría, ya que podríamos utilizar la fórmula puntual, si $\mathfrak{DiffSt}$ eran cocompletos. Viene con un adjunto derecho $R,$ que por el lema de Yoneda, se identifica con la inclusión canónica completa y fiel $$R:\mathfrak{DiffSt} \hookrightarrow Fun(Mfd,Gpd).$$ Fíjese, la imagen esencial de $R$ aterriza en pilas, $St\left(Mfd\right),$ por lo que la adjunción restringe. El resultado ahora sigue.
Ok: ¿En qué nos ayuda esto?
Si $\mathfrak{DiffSt}$ eran reflexivos en $St\left(Mfd\right),$ también tendría que ser completa. Pero ahora veamos, por ejemplo, un producto infinito de variedades, o pullbacks no transversales. Es fácil inventar ejemplos de este tipo que no estén representados por pilas diferenciables, ya que los límites deben coincidir con los límites puntuales, puesto que $R$ sería una unión a la derecha. Por lo tanto, $\mathfrak{DiffSt}$ no es co-completa.
Observación: Por cierto, ciertas subcategorías no plenas de $\mathfrak{DiffSt}$ son cocompleto. Por ejemplo, si se restringe a apilamientos etale diferenciables, y se miran sólo los difeomorfismos locales entre ellos, esto en realidad forma un $2$ -topos: http://arxiv.org/abs/1212.2282 - y además, estos colímites se conservan mediante la inclusión en $\mathfrak{DiffSt}$ (Actualizaré este preprint en unos días)
