Según Rajendra Bhatia en su libro Series de Fourier, el Teorema de Equidistribución de Weyl establece que si $x$ es un número irracional, entonces para cada subintervalo $[a, b]$ de $(0, 1)$ tenemos
$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{N}\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(kx)} \in [a, b]\} = b - a$ donde $\tilde{(kx)}$ es la parte fraccionaria del número $kx$ .
Mi pregunta es qué pasa si generalizamos a subconjuntos medibles de $(0, 1)$ ?
En $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac1N\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(kx)} \in A\} = \mu(A)$ donde $A$ es un subconjunto medible y $\mu$ ¿la función medida de Lebesgue?
Además, para subconjuntos no medibles $V$ es la secuencia $\frac{1}{N}\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N$ , $\tilde{(kx)} \in V\}$ acotado por arriba y por abajo y si es así, ¿tiene el mismo conjunto de sublímites para todos los irracionales $x$ ?
Después de mi última pregunta que reveló que había olvidado momentáneamente todo mi análisis real de pregrado, espero que ésta sea digna de MathOverflow... gracias...
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Lo siento, esto es demasiado esperar: ${\bf Z} x \bmod 1 = \lbrace k x \bmod 1 | x \in {\bf Z} \rbrace$ es contable y, por tanto, de medida cero. De ahí que podamos añadirlo o quitarlo de cualquier subconjunto medible $A$ dejando $\mu(A)$ fijo pero haciendo el límite $1$ o $0$ . O, teniendo $A$ conozca ${\bf Z} x \bmod 1$ en un conjunto de múltiplos cuya densidad en $[1,N]$ se acerca arbitrariamente a $0$ y $1$ como $N \rightarrow \infty$ podríamos evitar que la proporción de múltiplos en $A$ de tener cualquier límite superior e inferior no trivial, manteniendo $A$ mensurable.
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Lo siento si estoy azotando un caballo muerto, pero ¿qué pasa si exigimos que el límite sea igual para todos los irracionales $x$ Es decir, si $lim_{n \rightarrow \infty}$$ \frac{1}{N} $$card$ { $k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(kx)} \in A$ } = $lim_{n \rightarrow \infty}$$ \frac{1}{N} $$card$ { $k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(ky)} \in A$ para todos $x, y$ irracional, entonces el límite es igual a $\mu(A)$ ?
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@George: En ese caso sí. La medida de Lebesgue es invariante y ergódica para cualquier rotación irracional, y en particular, el teorema ergódico de Birkhoff implica que la frecuencia límite de visitas a cualquier conjunto medible es igual a la medida de Lebesgue de ese conjunto para Lebesgue-a.e. punto de partida $x$ . Por lo tanto, si $A$ es medible y $E$ tiene medida de Lebesgue positiva y la frecuencia límite de visitas existe y es igual para cada $x\in E$ entonces ese límite debe ser igual a $\mu(A)$ .
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