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Teorema de Equidistribución de Weyl y Teoría de Medidas

Según Rajendra Bhatia en su libro Series de Fourier, el Teorema de Equidistribución de Weyl establece que si $x$ es un número irracional, entonces para cada subintervalo $[a, b]$ de $(0, 1)$ tenemos

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{N}\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(kx)} \in [a, b]\} = b - a$ donde $\tilde{(kx)}$ es la parte fraccionaria del número $kx$ .

Mi pregunta es qué pasa si generalizamos a subconjuntos medibles de $(0, 1)$ ?

En $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac1N\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(kx)} \in A\} = \mu(A)$ donde $A$ es un subconjunto medible y $\mu$ ¿la función medida de Lebesgue?

Además, para subconjuntos no medibles $V$ es la secuencia $\frac{1}{N}\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N$ , $\tilde{(kx)} \in V\}$ acotado por arriba y por abajo y si es así, ¿tiene el mismo conjunto de sublímites para todos los irracionales $x$ ?

Después de mi última pregunta que reveló que había olvidado momentáneamente todo mi análisis real de pregrado, espero que ésta sea digna de MathOverflow... gracias...

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Lo siento, esto es demasiado esperar: ${\bf Z} x \bmod 1 = \lbrace k x \bmod 1 | x \in {\bf Z} \rbrace$ es contable y, por tanto, de medida cero. De ahí que podamos añadirlo o quitarlo de cualquier subconjunto medible $A$ dejando $\mu(A)$ fijo pero haciendo el límite $1$ o $0$ . O, teniendo $A$ conozca ${\bf Z} x \bmod 1$ en un conjunto de múltiplos cuya densidad en $[1,N]$ se acerca arbitrariamente a $0$ y $1$ como $N \rightarrow \infty$ podríamos evitar que la proporción de múltiplos en $A$ de tener cualquier límite superior e inferior no trivial, manteniendo $A$ mensurable.

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Lo siento si estoy azotando un caballo muerto, pero ¿qué pasa si exigimos que el límite sea igual para todos los irracionales $x$ Es decir, si $lim_{n \rightarrow \infty}$$ \frac{1}{N} $$card$ { $k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(kx)} \in A$ } = $lim_{n \rightarrow \infty}$$ \frac{1}{N} $$card$ { $k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(ky)} \in A$ para todos $x, y$ irracional, entonces el límite es igual a $\mu(A)$ ?

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@George: En ese caso sí. La medida de Lebesgue es invariante y ergódica para cualquier rotación irracional, y en particular, el teorema ergódico de Birkhoff implica que la frecuencia límite de visitas a cualquier conjunto medible es igual a la medida de Lebesgue de ese conjunto para Lebesgue-a.e. punto de partida $x$ . Por lo tanto, si $A$ es medible y $E$ tiene medida de Lebesgue positiva y la frecuencia límite de visitas existe y es igual para cada $x\in E$ entonces ese límite debe ser igual a $\mu(A)$ .

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Tom Wadley Puntos 111

Noam Elkies señaló que esta generalización no puede ser cierta porque el conjunto de valores de esta secuencia tiene medida cero. Sin embargo, otra generalización natural es cierta: Por definición, una sucesión $(x_i)$ está equidistribuido si

$$(*)\qquad \frac1n \sum_{i=1}^n f(x_i) \ \to \ \int_0^1 f(x) \ dx$$

se cumple siempre que $f$ es la función característica de un intervalo. Es un teorema clásico que los siguientes son equivalentes:

  1. $(*)$ es válida para todas las funciones características de un intervalo

  2. $(*)$ es válida para todas las funciones continuas

  3. $(*)$ es válida para todas las funciones integrables de Riemann

  4. $(*)$ se cumple siempre que $f$ es una de las funciones $e^{i\pi k x}$ .

La condición 3 implica que las secuencias uniformemente distribuidas pueden utilizarse para aproximar integrales. (Utilizando la "discrepancia" de una secuencia, el error puede incluso estimarse en términos de la variación total de la función).

También significa que la respuesta a la pregunta original es afirmativa para todos los conjuntos cuya función característica es Riemann-integrable; equivalentemente, para todos los conjuntos cuya frontera topológica tiene medida cero.

La condición (4) significa que sólo hay que comprobar unas pocas funciones para concluir que la distribución es uniforme. Para la secuencia $x_k =k \alpha$ el criterio de (4) es muy fácil de verificar, ya que la suma exponencial que allí aparece es una serie geométrica finita.

(Véase también Artículo de Wikipedia sobre equidistribución )

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¿En qué se diferencian esta "generalización natural" y este "teorema clásico" de la equidistribución de Weyl propiamente dicha? (Por ejemplo, así es como Körner Análisis de Fourier y demuestra el teorema de Weyl, si no recuerdo mal).

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No estoy seguro de lo que quiere decir con "diferente". Para mí, (1) es la definición de equidistribución, (4) (o más bien la equivalencia entre (1) y (4)) es el criterio de Weyl, y (3) es la consecuencia más útil. Todas son equivalentes, por lo que en este sentido no son diferentes. Llamo a la condición (3) una "generalización", porque es (aparentemente) un refuerzo de (1) (aunque no estrictamente).

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Gerald Kaszuba Puntos 380

Se trata de una pregunta muy interesante, que en realidad se refiere a la interacción entre la equidistribución (o el análisis armónico, si se quiere llamar así) y la teoría ergódica.

Como Vaughn mencionó, para cualquier $L^{p}$ función ( $p\geq 1$ ), el teorema ergódico puntual implicaría que para Lebesgue casi todo punto $x$ el valor de las medias ergódicas $$ \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}f(x+n \alpha) \to \int fd\mu$$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue. De ahí que uno pueda tomar la función característica de su conjunto medible favorito y obtener la afirmación de "equidistribución" que le gustaría, pero sólo a costa de la convergencia a.e.

Noam mostró por qué a.e. es agudo aquí.

Cuando se pregunta por una función continua (o más frecuentemente en el campo, se toma una función de un espacio de Sobolev adecuado), se puede obtener más información que el enunciado anterior (incluyendo por ejemplo la estimación sobre los errores), véase por ejemplo esta desigualdad para su problema - https://en.wikipedia.org/wiki/Low-discrepancy_sequence pero esto también tiene un coste, normalmente tienes que limitar el número irracional con el que estás tratando para que sea Diofantino genérico o así.

Como sabrás, la equidistribución de Weyl se generalizó a la equidistribución de secuencias de la forma ${p(n)\alpha}$ donde $p(n)$ es un polinomio en $Z[x]$ . Ahora uno puede preguntarse por tales "límites ergódicos" para la secuencia ${n^{2}\alpha}$ en general $L^{p}$ (las funciones continuas se tratarán fácilmente mediante el teorema de equidistribución). Fue una cuestión abierta durante algún tiempo, pero el principal resultado aquí es de Bourgain, que demostró que para cualquier $p>1$ si la función está en $L^{p}$ entonces las medias convergerán a.e. a la integral. Este es el análogo del teorema ergódico puntual habitual para el caso cuadrático. Lo interesante aquí es que $p>1$ es agudo, existe hoy un contraejemplo para $p=1$ caso.

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