Teorema de Equidistribución de Weyl y Teoría de Medidas

Question

Según Rajendra Bhatia en su libro Series de Fourier, el Teorema de Equidistribución de Weyl establece que si $x$ es un número irracional, entonces para cada subintervalo $[a, b]$ de $(0, 1)$ tenemos

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{N}\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(kx)} \in [a, b]\} = b - a$ donde $\tilde{(kx)}$ es la parte fraccionaria del número $kx$ .

Mi pregunta es qué pasa si generalizamos a subconjuntos medibles de $(0, 1)$ ?

En $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac1N\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N, \tilde{(kx)} \in A\} = \mu(A)$ donde $A$ es un subconjunto medible y $\mu$ ¿la función medida de Lebesgue?

Además, para subconjuntos no medibles $V$ es la secuencia $\frac{1}{N}\operatorname{card}\{k : 1 \leq k \leq N$ , $\tilde{(kx)} \in V\}$ acotado por arriba y por abajo y si es así, ¿tiene el mismo conjunto de sublímites para todos los irracionales $x$ ?

Después de mi última pregunta que reveló que había olvidado momentáneamente todo mi análisis real de pregrado, espero que ésta sea digna de MathOverflow... gracias...

Answer 1

Noam Elkies señaló que esta generalización no puede ser cierta porque el conjunto de valores de esta secuencia tiene medida cero. Sin embargo, otra generalización natural es cierta: Por definición, una sucesión $(x_i)$ está equidistribuido si

$$(*)\qquad \frac1n \sum_{i=1}^n f(x_i) \ \to \ \int_0^1 f(x) \ dx$$

se cumple siempre que $f$ es la función característica de un intervalo. Es un teorema clásico que los siguientes son equivalentes:

1. $(*)$ es válida para todas las funciones características de un intervalo

2. $(*)$ es válida para todas las funciones continuas

3. $(*)$ es válida para todas las funciones integrables de Riemann

4. $(*)$ se cumple siempre que $f$ es una de las funciones $e^{i\pi k x}$ .

La condición 3 implica que las secuencias uniformemente distribuidas pueden utilizarse para aproximar integrales. (Utilizando la "discrepancia" de una secuencia, el error puede incluso estimarse en términos de la variación total de la función).

También significa que la respuesta a la pregunta original es afirmativa para todos los conjuntos cuya función característica es Riemann-integrable; equivalentemente, para todos los conjuntos cuya frontera topológica tiene medida cero.

La condición (4) significa que sólo hay que comprobar unas pocas funciones para concluir que la distribución es uniforme. Para la secuencia $x_k =k \alpha$ el criterio de (4) es muy fácil de verificar, ya que la suma exponencial que allí aparece es una serie geométrica finita.

(Véase también Artículo de Wikipedia sobre equidistribución )

Answer 2

Se trata de una pregunta muy interesante, que en realidad se refiere a la interacción entre la equidistribución (o el análisis armónico, si se quiere llamar así) y la teoría ergódica.

Como Vaughn mencionó, para cualquier $L^{p}$ función ( $p\geq 1$ ), el teorema ergódico puntual implicaría que para Lebesgue casi todo punto $x$ el valor de las medias ergódicas $$\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}f(x+n \alpha) \to \int fd\mu$$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue. De ahí que uno pueda tomar la función característica de su conjunto medible favorito y obtener la afirmación de "equidistribución" que le gustaría, pero sólo a costa de la convergencia a.e.

Noam mostró por qué a.e. es agudo aquí.

Cuando se pregunta por una función continua (o más frecuentemente en el campo, se toma una función de un espacio de Sobolev adecuado), se puede obtener más información que el enunciado anterior (incluyendo por ejemplo la estimación sobre los errores), véase por ejemplo esta desigualdad para su problema - https://en.wikipedia.org/wiki/Low-discrepancy_sequence pero esto también tiene un coste, normalmente tienes que limitar el número irracional con el que estás tratando para que sea Diofantino genérico o así.

Como sabrás, la equidistribución de Weyl se generalizó a la equidistribución de secuencias de la forma ${p(n)\alpha}$ donde $p(n)$ es un polinomio en $Z[x]$ . Ahora uno puede preguntarse por tales "límites ergódicos" para la secuencia ${n^{2}\alpha}$ en general $L^{p}$ (las funciones continuas se tratarán fácilmente mediante el teorema de equidistribución). Fue una cuestión abierta durante algún tiempo, pero el principal resultado aquí es de Bourgain, que demostró que para cualquier $p>1$ si la función está en $L^{p}$ entonces las medias convergerán a.e. a la integral. Este es el análogo del teorema ergódico puntual habitual para el caso cuadrático. Lo interesante aquí es que $p>1$ es agudo, existe hoy un contraejemplo para $p=1$ caso.