Uso de la teoría de categorías en topología algebraica

Question

Primero mi pregunta:

¿Cuánta teoría de categorías debe conocer en general alguien que estudie topología algebraica?

Motivación : Estoy tomando mi primer curso de postgrado en topología algebraica el próximo semestre, y, hasta este momento, nunca he tomado el tiempo para aprender cualquier teoría de categorías. He leído que la teoría de categorías ayuda a comprender la estructura subyacente de la materia y que fue desarrollada por quienes estudian topología algebraica. Dado que no conozco el contenido exacto que se tratará en este curso, estoy intentando averiguar qué cantidad de teoría de categorías debería saber en general alguien que estudia topología algebraica.

Mi universidad tiene un esquema muy general de lo que podría incluir el curso, así que, para acotar un poco la pregunta, daré la lista de posibles temas para el curso.

Temas posibles:

• teoría de homotopías inestables
• espectros
• teoría del bordismo
• cohomología de grupos
• localización
• teoría racional de homotopías
• topología diferencial
• secuencias espectrales
• Teoría K
• categorías de modelos

Con todo, hace tiempo que debería haber aprendido el lenguaje de las categorías, así que esta pregunta se refiere en realidad a cuánta teoría de categorías necesita uno en el día a día sobre el terreno.

Actualización

Envié un correo electrónico al profesor que imparte el curso y me dijo que espera cubrir lo siguiente (aunque quizá sea demasiado):

• homotopía, equivalencias de homotopía, conos cartográficos, cilindros cartográficos
• fibraciones y cofibraciones, y grupos de homotopía, y secuencias homotópicas exactas largas.
• espacios clasificatorios de grupos.
• Teorema de Freudenthal, de Hurewicz y de Whitehead.
• Espacios de Eilenberg-MacLane y torres de Postnikov.
• teorías de homología y cohomología definidas por espectros.

Answer 1

La lista de posibles temas que proporcionas varía en sus exigencias categóricas desde lo relativamente ligero (por ejemplo, topología diferencial) hasta lo más bien pesado (por ejemplo, espectros, categorías de modelos). Así que una mejor respuesta podría ser posible si usted sabe más sobre el enfoque del curso.

Sin embargo, mi opinión personal sobre la teoría de categorías y la topología es que, en la mayoría de los casos, sólo hay que aprender lo necesario sobre la marcha. El lenguaje de las categorías y el álgebra homológica fue inventado en gran parte por topólogos y geómetras que tenían una necesidad específica en mente, y en mi opinión es más esclarecedor aprender una abstracción al mismo tiempo que las cosas que hay que abstraer. Por ejemplo, los axiomas que definen una categoría modelo probablemente parecerían un completo disparate si uno se limitara a mirarlos fijamente, pero parecen naturales y significativos cuando se considera la estructura modelo de la categoría de, digamos, conjuntos simpliciales en topología.

Así que si estás pensando en comprar un libro sobre categorías y pasarte un mes leyéndolo, creo que podrías emplear mejor tu tiempo de otras formas. Sería un poco como comprar un libro de teoría de conjuntos antes de hacer un curso de análisis real: el lenguaje de conjuntos es sin duda importante y relevante, pero probablemente puedas aprenderlo sobre la marcha. Muchos libros de topología están escritos con una actitud similar hacia las categorías.

Dicho esto, si tienes una razón especial para preocuparte por esto (por ejemplo, si te preocupa la persona que imparte el curso) o si eres de los que disfrutan haciendo diagramas porque sí (algunas personas lo hacen), aquí tienes algunas sugerencias. La teoría de categorías a menudo entra en la topología como una forma de organizar todo el álgebra homológica implicada, por lo que no estaría de más repasarla. Tal vez ya se haya familiarizado con el lenguaje de las secuencias exactas y los complejos en cadena; si no es así, sería un buen punto de partida (aunque será muy árido sin ninguna motivación). La cohomología de grupos es un tema importante en sí mismo, y podría ayudarte a aprender algo más del lenguaje en un entorno razonablemente familiar. Otra posibilidad es elegir un resultado o herramienta específicos de la teoría de categorías, como el teorema del functor adjunto o el lema de Yoneda, e intentar comprender la demostración y algunas aplicaciones.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la estupenda respuesta de Paul Siegel, y sólo me gustaría añadir una cosa que es demasiado larga para un comentario.

Dependiendo de la dirección que tome, la topología algebraica puede convertirse prácticamente en sinónimo de teoría de categorías superiores. Esto puede ocurrir de múltiples maneras. En primer lugar, la categoría de espacios topológicos tiene espacios como sus objetos, mapas continuos como sus morfismos, homotopías como sus 2-morfismos, homotopías entre homotopías como sus 3-morfismos, etc. Dicho quizá con demasiada displicencia, el objetivo de las categorías modelo es esencialmente establecer un marco general para estudiar categorías superiores que pueden (o no) parecerse a las de los espacios. Pero las propias categorías superiores también se parecen mucho a los espacios. En esta analogía, los functores son como los mapas continuos, las transformaciones naturales son como las homotopías, etc. (El hecho de que existan estas dos formas totalmente distintas en las que interactúan los espacios y las categorías realmente me cegó la primera vez que lo vi).

En cualquier caso, la cuestión es que si te dedicas seriamente a la topología algebraica, puede que al final tengas que volverte muy amigo de la teoría de categorías y estar de acuerdo con el uso de frases ridículas y aterradoras como "extensión Kan de homotopía izquierda" y cosas así. Parece que el uso de la teoría de categorías superiores en topología algebraica va en aumento, así que es posible que dentro de veinte años los topólogos algebraicos no tengan más remedio que familiarizarse con todo esto. (Yo, desde luego, no. Al menos, todavía no.) Sólo un aviso.

Answer 3

Los cuellos de botella parecen ser la teoría K y las categorías de modelos. No se me ocurre ninguna herramienta categorial que necesites para cualquiera de los otros temas que no sea un subconjunto adecuado de las utilizadas en estos dos. Luego depende, como todo en matemáticas, de lo profundo que quieras llegar. Mi consejo es que cojas un libro sobre esos temas e intentes leerlo. Verás enseguida qué lenguaje categorial necesitas. La mayoría de los libros de topología destacan específicamente cualquier razonamiento categorial y muchos incluso incluyen un apéndice sobre teoría de categorías.