Sobre el significado de la segunda derivada

Question

Cuando queremos encontrar la velocidad de un objeto utilizamos la derivada para encontrarla. Sin embargo, acabo de aprender que cuando se encuentra la aceleración del objeto se encuentra la segunda derivada.

Me confunde lo que se define como parámetros de aceleración. Siempre he pensado que la aceleración de un objeto es su velocidad (d/t).

Además, en la segunda derivada estamos utilizando el valor x o el valor y de interés. En la primera derivada sólo nos interesaba el valor x. ¿Sigue siendo así en la segunda derivada?

Pondría fotos pero por lo visto aún me faltan 4 puntos.

Answer 1

En velocidad es la tasa de variación del desplazamiento.

En aceleración es la tasa de cambio de velocidad.

Así que la velocidad es la derivada con respecto a $t$ de la función de desplazamiento $s(t)$ . En símbolos, $v(t)=s'(t)$ .

La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto a $t$ . En símbolos, $a(t)=v'(t)$ .

De ello se deduce que $a(t)$ es el segunda derivada de desplazamiento. En símbolos, $a(t)=s''(t)$ .

Si prefieres la notación de Leibniz, deja que $s$ sea el desplazamiento en el momento $t$ . Entonces la velocidad es $\dfrac{ds}{dt}$ y la aceleración es $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{ds}{dt}\right)$ que es $\dfrac{d^2s}{dt^2}$ .

Answer 2

La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Si conduzco a una velocidad constante de $30$ mph, la aceleración es $0$ . Si freno bruscamente, mi velocidad disminuye drásticamente: mi velocidad cambia, es decir, yo desacelerar . Por otro lado, si quiero adelantar a un coche, o llego tarde al trabajo, y piso el acelerador para acelere mi velocidad aumentaría de, digamos, 30 mph a $45$ mph, o más (¡depende de lo tarde que llegue!) La aceleración es una medida del índice de cambio de la velocidad.

Así es $\frac{d}{dt}(v(t))$ donde $v(t) = dx/dt$ es la tasa de cambio de posición con respecto al tiempo.

Así tenemos que la aceleración es la derivada de una derivada: la segunda derivada con respecto a la posición, o la derivada de la velocidad.

Answer 3

La aceleración es muy no velocidad. Es el ritmo al que cambia la velocidad.

Answer 4

La función de posición se suele denominar $r=x(t)$ . La velocidad es la derivada de la función de posición con respecto al tiempo: $v(t)=\dfrac{dx(t)}{dt}$ . La aceleración es la derivada de la función velocidad con respecto al tiempo: $a(t)=\dfrac{dv(t)}{dt}$ . Esto equivale a la segunda derivada de la función de posición con respecto al tiempo: $$\dfrac{d}{dt}\dfrac{d}{dt}x(t)=\dfrac{d}{dt}\dfrac{dx(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}v(t)=\dfrac{dv(t)}{dt}=a(t).$$

La derivada se toma porque da el cambio de una función con respecto a su variable de entrada.

Answer 5

La derivada de la derivada es la segunda derivada. Aquí las derivadas son con respecto al tiempo ( $t$ ). La variable dependiente representa (una coordenada de) la posición. Se podría denominar $x$ o $y$ o $z$ dependiendo de lo que le interese.