1 votos

¿Se necesita cálculo vectorial o álgebra lineal para obtener los parámetros de una cónica general?

Como se desprende de este pregunta, para la sección cónica general $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ la pendiente del eje principal es $$\tan \theta=\frac{B}{A-C+(\mathrm{sgn}\;{B})\sqrt{B^2+(A-C)^2}}$$ y la excentricidad (si es una hipérbola o una elipse) es $$\epsilon=\left(\sqrt{\frac12-\frac{(\mathrm{sgn}\;\Delta)(A+C)}{2\sqrt{B^2+(A-C)^2}}}\right)^{-1}$$

Me gustaría probarlas yo mismo, pero sospecho que ambas requieren cálculo vectorial o álgebra lineal, o temas similares a ese nivel. No tengo ni idea de ninguna de las dos cosas, así que sería estupendo saber si ambas se pueden demostrar utilizando geometría cartesiana simple.

No pido la prueba; si requiere alguna de las dos cosas, la dejo para cuando las conozca y pueda demostrarla yo mismo en caso contrario. Sólo necesito saber qué implica demostrarlo.

1voto

deitch Puntos 263

Esto sí puede hacerse con geometría simple.

(Nota: si es una parábola, que tampoco tiene centro, puedes factorizar la ecuación en la forma estándar para encontrar el eje y la tangente directamente. Puede que no sea tan fácil con cónicas centrales).

En primer lugar, el centro de la cónica se desplaza hacia el origen. Esto se hace cambiando $x$ y $y$ a $x-h$ y $y-k$ . $(h, k)$ es el centro, y ambas coordenadas se obtienen haciendo que no haya términos lineales. (Esto se debe a que el centro se define como el punto que biseca todas las cuerdas que pasan por él. Si el centro es el origen, y digamos $(x, y)$ se encuentra en la cónica, entonces $(-x, -y)$ también tiene que estar sobre ella, ya que es el otro extremo de la cuerda bisecada. Para ello, la ecuación de la cónica no debe tener términos lineales). Así pues, la ecuación se simplifica a la forma $Ax^2+By^2+Cxy=1$ .

Como en el comentario de @robjohn, se puede girar la cónica sobre el origen para que se asiente con la $x-$ Y $y-$ como sus ejes, como en la forma estándar. Esto se hace como se detalla en este respuesta, utilizando la matriz $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $ para cambiar las variables.

La ecuación se simplifica aún más en esta forma, sin $xy$ condiciones; $$x^2(A\cos^2 \theta + B\sin^2 \theta +C\cos\theta\sin\theta)+y^2(A\sin^2\theta+B\cos^2 \theta-C\cos\theta\sin\theta)=1$$

(Dado que el coeficiente de $xy$ tiene que ser 0 cuando la cónica está en su forma estándar $2\sin\theta\cos\theta(B-A)+C(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=0$ )

A partir de las dos últimas ecuaciones, $\theta$ que nos da la pendiente del eje. Ordenando la ecuación en la forma estándar también obtendremos fácilmente la excentricidad.

Edita: Como en el comentario de abajo, $\frac{C}{A-B}=\frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)}=\tan(2\theta)$ . Así se puede calcular la pendiente con bastante rapidez.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X