Esto sí puede hacerse con geometría simple.
(Nota: si es una parábola, que tampoco tiene centro, puedes factorizar la ecuación en la forma estándar para encontrar el eje y la tangente directamente. Puede que no sea tan fácil con cónicas centrales).
En primer lugar, el centro de la cónica se desplaza hacia el origen. Esto se hace cambiando $x$ y $y$ a $x-h$ y $y-k$ . $(h, k)$ es el centro, y ambas coordenadas se obtienen haciendo que no haya términos lineales. (Esto se debe a que el centro se define como el punto que biseca todas las cuerdas que pasan por él. Si el centro es el origen, y digamos $(x, y)$ se encuentra en la cónica, entonces $(-x, -y)$ también tiene que estar sobre ella, ya que es el otro extremo de la cuerda bisecada. Para ello, la ecuación de la cónica no debe tener términos lineales). Así pues, la ecuación se simplifica a la forma $Ax^2+By^2+Cxy=1$ .
Como en el comentario de @robjohn, se puede girar la cónica sobre el origen para que se asiente con la $x-$ Y $y-$ como sus ejes, como en la forma estándar. Esto se hace como se detalla en este respuesta, utilizando la matriz $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $ para cambiar las variables.
La ecuación se simplifica aún más en esta forma, sin $xy$ condiciones; $$x^2(A\cos^2 \theta + B\sin^2 \theta +C\cos\theta\sin\theta)+y^2(A\sin^2\theta+B\cos^2 \theta-C\cos\theta\sin\theta)=1$$
(Dado que el coeficiente de $xy$ tiene que ser 0 cuando la cónica está en su forma estándar $2\sin\theta\cos\theta(B-A)+C(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=0$ )
A partir de las dos últimas ecuaciones, $\theta$ que nos da la pendiente del eje. Ordenando la ecuación en la forma estándar también obtendremos fácilmente la excentricidad.
Edita: Como en el comentario de abajo, $\frac{C}{A-B}=\frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)}=\tan(2\theta)$ . Así se puede calcular la pendiente con bastante rapidez.
