$y' + 2y = \sin(\omega t)$

Question

Así que tengo $y' + 2y = \sin(\omega t)$ .

Desde $\sin(\omega t) = \operatorname{Im}(e^{i\omega t})$ Puedo resolver la ecuación hasta $$ y = \operatorname{Im}(\frac1{i\omega + 2}e^{i\omega t}) = \operatorname{Im}\left(\frac{2-i\omega}{\omega^2 + 2}\cdot(\cos(\omega t) + i\cdot \sin(\omega t))\right). $$

Ahora en mi libro lo llevan un paso más allá, así: $y = \frac 1{\omega^2 + 2}(2\sin(\omega t) - \omega \cos(\omega t))$ .

Ese último paso se convierte entonces en la respuesta final a la pregunta, pero sinceramente no puedo entender cómo hacen ese último salto. ¿Cómo eliminan el $\operatorname{Im}()$ y cómo afecta a la ecuación?

Answer 1

$$ \frac{2-i\omega}{\omega^2+2}(\cos \omega t + i \sin \omega t) = \frac{1}{\omega^2+2}(2\cos \omega t + 2i \sin \omega t -i\omega \cos\omega t + \omega \sin\omega t), $$ por lo que la parte imaginaria es efectivamente $$ \frac{1}{\omega^2+2}(2 \sin \omega t -\omega \cos\omega t). $$

Answer 2

Desarrollar el producto

$$\frac{2-i\omega}{\omega^2 + 2}\cdot (\cos{\omega t} + i\cdot \sin{\omega t})= {1\over \omega^2+2}\left[2\cos{\omega t}+\omega\sin{\omega t}+i\left(2\sin{\omega t}-\omega\cos{\omega t}\right)\right]$$

La parte imaginaria de $a+i\cdot b$ es $b$ y esto da el resultado.